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群的基本概念
目录
2 群的基本概念
群的定义
同构与同态
群的乘法表
群的直积
分子点群的共轭分类
群元素的共轭分类
群的定义
元素 A、B、C、...... 组成集合 G,在集合 G 中定义有称为乘法的某种组合运算,如果 G 对该乘法满足以下四个条件,则集合 G 构成群。
(1) 封闭性
A、B 为群 G 中的元素,如果:
AB = C
则 C 也是群 G 中的一个元素。
(2) 结合律
群元素相乘满足乘法结合律,如:
ABC = ( AB )C =A( BC )
(3) 恒等元素
群中有且仅有一个恒等元素 E,且有:
EX = XE = X
其中 X 为群中的任何元素。
群元素的数目称为群的阶 h .
(4) 逆元素
群中任一元素 X 都有一个逆元素 X-1 ,且逆元素 X-1 也是该群中的元素,且有:
X X-1 = X-1 X = E
从数学的角度看,按一定规则联系起来的任何元素的一个集合,如果满足上述四个条件,就称为群。群的特征不在于构成群的是何种元素,而在于它们共同遵守着某种规则,这种规则反映了群元素之间的内在联系。
除 0 以外的全体实数的集合对数的乘法构成群;(1)任意两实数之积仍为实数,(2)数的乘法服从结合律,(3)恒等元为 1,(4)逆元为其倒数。
例 1-1 实数加法群
例 1-2 实数乘法群
全体实数的集合对于数的加法构成群;(1)任意两实数之和仍为实数,(2)数的加法服从结合律,(3)恒等元为 0,(4)逆元为其相反值。
例 1-3 立正操
例 1-4 全体正整数的集合不能构成整数乘法群。尽管该集合满足封闭性和结合律,也有恒等元,但除 1 以外,其余元素均无逆元。
四个操练动作:立正,向右转,向左转,向后转的集合构成群,如果定义两个动作的乘法为进行一个动作之后接着进行另一个动作。
例 1-5 全体实数的集合,虽然能构成实数加法群,但不能构成实数乘法群。因为其中的 0 无逆元。
群的乘法表
群是按一定规律相互联系着的元素的集合,这个规律就是所谓的乘法。对一个有 h 个元素的有限群来说,如果知道了所有可能的乘积(h2 )是什么,那么群元素之间的关系就一目了然,这个群就完全且唯一的被定义了。乘法表就是这样一个概念。
对于一个有限群 G 和群 G 中任意两个元素的乘积关系以表格的形式来表示,称为乘法表。利用乘法表可以方便的进行群的运算。
1)乘法表由 h 行和 h 列组成。列写在表的左边,行在表的顶部。如:
2)因为乘法一般是不可交换的,对乘法的次序需作出一致的规定****惯上按照(列)×(行)定义,即在 x 列和 y 行的交叉点上找到得到元素是 xy 的乘积。行元素称为右乘因子,先作用;列元素称为左乘因子,后作用;两者的乘积写在交叉点上。
重排定理
重排定理能帮助构建乘法表。如三阶(抽象)群:
在群的乘法表中,每一个群元素在每一行和每一列中被列入一次且只被列入一次。由此可见,不可能有两个行全同,也不可能有任意两列全同。每一个行和每一个列都是群元素的一个重新排列。