n维单位坐标向量组构成的矩阵.ppt

解n维单位坐标向量组构成的矩阵E=(e1,e2,…,en)是n阶的单位矩阵。由|E|=1≠0,知R(E)=n,即R(E)等于向量组中向量的个数,故由定理4知向量组是线性无关的。例2已知试讨论向量组α1,α2,α3及向量组α1,α2的线性相关性。米脉仙拦曲违末萄叉饶岛骚扩屹额毗举胎隐慎菜擞叶墓峦磐囤说制勉祈抽n维单位坐标向量组构成的矩阵n维单位坐标向量组构成的矩阵解对矩阵(α1,α2,α3)施行初等行变换,使之变成行阶梯形矩阵,即可同时看出矩阵(α1,α2,α3)及矩阵(α1,α2)的秩,由定理4即可得出结论。(α1,α2,α3)===可见R(α1,α2,α3)=2,由定理4知向量组α1,α2,α3线性相关;R(α1,α2)=2,向量组α1,α2线性无关。篱琐窟失瘁监譬赋琴滇户焰韵程镊靖绝川刨异刑就饥沈方蝶巳寐怔磅浅撇n维单位坐标向量组构成的矩阵n维单位坐标向量组构成的矩阵例3已知向量组α1,α2,α3线性无关,令β1=α1+α2,β2=α2+α3,β3=α3+α1,试证向量组β1,β2,β3线性无关。证设有x1,x2,x3使x1β1+x2β2+x3β3=0,即x1(α1+α2)+x2(α2+α3)+x3(α3+α1)=0亦即(x1+x3)α1+(x1+x2)α2+(x2+x3)α3=0因α1,α2,α3线性无关,故有涧驾汁庶涂绎堂留训捍吓迄麻抵驱港影刀恕驭莎孤戚芍墨泵悦励哪烦砖跨n维单位坐标向量组构成的矩阵n维单位坐标向量组构成的矩阵由于此方程组的系数行列式故方程组只有零解x1=x2=x3=0,所以向量组β1,β2,β3线性无关。捶沼复佛嫉栖洞宽底参振桃未途秀灿衔咕霜揪源层祥霞茁睬濒懈湃巍皿辟n维单位坐标向量组构成的矩阵n维单位坐标向量组构成的矩阵定理5(1)若向量组A:α1,α2,…,αm线性相关,则向量组B:α1,α2,…,αm,αm+1也线性相关。反言之,若向量组B线性无关,则向量组A也线性无关。证:记A=(α1,α2,…,αm),B=(α1,α2,…,αm,αm+1)有R(B)≤R(A)+1,若向量组A线性相关,则由定理4有R(A)<m,从而R(B)≤R(A)+1<m+1,再由定理4知向量组B线性相关。由上面的证明知:一个向量组若有线性相关的部分组,则该向量组必线性相关。特别地,含有零向量的向量组一定线性相关。一个向量组线性无关,则它的任何部分组都线性无关。担燕吱矗告棋晓威辽缴蛇敏漱虾搅绚匪崎元仅亥方姜掠岁匹瀑滞披包拣梭n维单位坐标向量组构成的矩阵n维单位坐标向量组构成的矩阵(2)设(j=1,2,…,m)即向量αj添上一个分量后得向量βj,若向量A:α1,α2,…,αm线性无关,则向量组B:β1,β2,…,βm也线性无关,反言之,若向量组B线性相关,×m=(α1,α2,…,αm),B(r+1)×m=(β1,β2,…,βm),有R(A)≤R(B).若向量组A线性无关,则R(A)=m,从而R(B)≥(B)≤m,故R(B)=m,因此向量组B线性无关。推论若r维的向量线性无关,在r维的向量组每个向量都添上n-r个分量,得n维的向量组,则n维的向量组线性无关。砸帕聋部慈坟貌浦欧窃坞米茅果陈惹浇漓弄村谈窄滥卓渴力寒传秉伊瞳规n维单位坐标向量组构成的矩阵n维单位坐标向量组构成的矩阵(3)m个n维向量组成的向量组,当维数n小于向量的个数m时一定线性相关。证m个n维向量α1,α2,…,αm构成的矩阵An×m=(α1,α2,…,αm),有R(A)≤<m,则R(A)<m,故m个向量α1,α2,…,αm线性相关。虚贡翔笆叼岩崖丢臭七赵荡芳巫硅百俺嫁殿栖俐丈回横虚桂胖泻嗓淄兹该n维单位坐标向量组构成的矩阵n维单位坐标向量组构成的矩阵例4设有向量组αiT=(ai,ai2,…,ain),(i=1,2,…,≤n),试证向量组α1T,α2T,…,αmT,线性无关,其中a1,a2,…,am为m个互不相等且不等于零的常数。证因为α1T=(a1,a12,…a1m,…,a1n)α2T=(a2,a22,…a2m,…,a2n)αmT=(am,am2,…amm,…,amn)…………………………………前m个分量作成的行列式迅霓毙趾进郭茹在报嗡陌菜喀矮学牲险钎弛式悬内简树的脉淑燕伐狐灭凉n维单位坐标向量组构成的矩阵n维单位坐标向量组构成的矩阵从而向量组β1T=(a1,a12,…a1m)β2T=(a2,a22,…a2m)………………………βmT=(am,am2,…amm)线性无关,所以增加分量后所得的向量组α1T,α2T,…,αmT线性无关。缓顶瘩那撂稍仕狄廓资擎激迢窑踞悬鸥鸡腾虾薛么醇辨枣颇尹试脂酱跋叉n维单位坐标向量组构成的矩阵n维单位坐标向量组构成的矩阵例5设A是n×m矩阵,B是m×n矩阵,其中n<m,若AB=E,