基本不等式求最值的三个误区.doc

基本不等式求最值的三个误区何启玉(南通市第二中学邮编:226002)运用基本不等式求函数最值是高中数学求最值的一种常用方法。在解题过程中,不少学生由于未能正确理解用求函数最值的三大隐含条件——“一正”,“二定”,“三相等”,致使解题进入误区。本文用例举法加以说明。误区一:非正基本不等式的两个变量都必须是正实数。如果两个变量异号或同为负实数,不等式要么不成立,要么不等号的方向会改变。已知实数,求的取值范围。分析 ,未必是正数。不能直接用基本不等式来解题。解: 当时,,即当且仅当即时取等号。当时,,,则当且仅当即时取等号。从而, ,,,求的取值范围。分析 , ,,故不能直接用基本不等式。解: ,,,当且仅当即时取等号。即误区二:不定用基本不等式求最值时必须满足和为定值,或积为定值。如果不具备“定值”条件时,需进行适当的“配凑”将其构造成定值。 , ,但与的乘积不是定值,看似无法用基本不等式求解,若将拆成即可。解: , 当且仅当即舍去)时取等号。当时例4. 当时,求的最大值分析 由得,但与的和不是定值,若将拆成即可。解: 当且仅当即时取等号。当时注:本题也可用二次函数配方法求最值。误区三:等号取不到用基本不等式求最值时,必须保证等号能够取到。例5. 已知,求的最小值。分析,,为定值。但不可能成立,故不能直接用基本不等式来解。解法一通过拆项来满足等式成立的条件。当且仅当即时取等号。当时,解法二通过换元,利用函数的单调性。令则易得在上是减函数。故当即时,例6. 已知,,,求的最小值。分析 若直接用得看似简而易得,但两次等号成立的条件分别是和显然矛盾。若将写成则只需用一次基本不等式即可。解: ,,, 当且仅当即时取等号。综上,运用基本不等式求最值必须保证同时满足“一正,二定,三相等”三个基本条件。如果三个条件中有一个不成立,则必须通过转化或配凑使其满足条件后再求解。只有准确理解基本不等式求最值的方法,才能确保解题思路清晰,过程正确,结论无误。联系人:何启玉,联系电话:**********E-mail:heqiyu0628@通讯地址:江苏省南通市唐闸大南新村16—405邮政编码:226002