主成分分析与因子分析.pdf

•因子/基础变量:既能包含原来众多变量代表的信息,又能解释这些变量相互依存关系的变量•因子分析:多元统计分析技术的一个分支,用于处理多变量问题,是一种降维、简化数据的技术•因子分析的应用–寻求基本结构–•因子分析的数学模型•因子分析的有关概念–因子负载–公共因子方差–因子的贡献–因子旋转–解释因子–因子得分•因子分析的步骤因子分析的数学模型Xiai1F1ai2F2aimFmi,(i1,2,,p)•F1,F2,…,Fm称为公共因子,i为Xi的特殊因子•矩阵形式X=AFaaaX111121mF11XaaaFX2,A21222m,F2,2aaaXPp1p2pmFmp需满足:–mp–Cov(F,)=021010122DFD(F)Im且DD()–020p因子负载•联系观测变量和公共因子的桥梁–公共因子完全不相关时,因子负载aij等于第i个变量和第j个因子之间的相关系数–aij的绝对值越大,公共因子与观测变量关系越大–公共因子彼此不相关时,变量Xi与Xj的相关系数为rijai1aj1ai2aj2aimajm•比较观测数据计算出的相关系数和模型导出的变量的相关系数,判断因子解是否合适–差别很小,模型很好的拟合观测数据,因子解合适公共因子方差/共同度•观测变量的方差中由公共因子决定的比例•说明用公共因子替代观测变量后,原来每个变量信息被保留的程度•公共因子方差越大,变量能够被因子说明的程度越高•当公共因子彼此正交时,公共因子方差等于和该变量有关的因子负载的平方和2222hiai1ai2aim因子的贡献•用因子所能够解释的总方差衡量的每个公共因子对变量的解释能力k2Vpaipi1•所有公共因子的总贡献为:mVVpp1•实际中,相对指标更为常用,即每个因子所解释的方差占所有变量总方差的比例Vp/k–K为观测变量的个数因子旋转•因子结构:因子和变量之间的相关关系•因子模式:因子负载矩阵•因子旋转的条件–一个变量在多个公共因子上有较大的负荷–多个变量在同一个公共因子上有较大的负荷•因子旋转的目的–使同一个因子在各个变量上的负载尽可能的向靠近1和靠近0的两极分离•因子旋转的方式–正交旋转:使因子轴之间仍然保持90度角,因子之间仍旧不相关,因子结构与因子模式等同–斜交旋转:因子之间的夹角是任意的,因子负载不再等于因子和变量之间的相关系数•因子模式与因子结构的关系为S=BW,S为因子结构矩阵,B为因子负载矩阵,W为斜交因子之间的相关系数矩阵解释因子•解释因子的作用–借助因子负载矩阵,找出在某个因子上有显著负载的变量–根据这些变量的意义给因子一个合适的名称•具有较高负载的变量对因子名称的影响较大•解释因子的确定–•因子得分的求解过程–用观测变量的线性组合表示因子–依据因子对应的每个变量的具体数值进行测度•因子得分的计算–在因子分析模型中,不考虑特殊因子的影响,当m=p且A可逆时,该样本在因子F上的得分F=A-1X–实际应用要求mp,只能对因子得分进行估计