循环群,子群.ppt

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二、群中元素的阶
前面已介绍了群的阶:|G|=G中所含元素的个数。下面利用单位元e,引入另一个新概念。

(1)定义
设G为群,而aG. 如果有整数k,使ak=e,那么使这个等式成立的最小正整数m叫做G的阶,记为|a|=,则称a的阶是无限的,记为|a|=+∞。
(2)阶的计算方法
按照定义寻找使成立的最小正整数。
例1 乘法群Z5*= {[1], [2], [3], [4]}中,[1]是单位元,显然|[1]|=1,而[2]12=[2]8=[2]4=[1],|[2]|=4,同理知|[3]|=4,|[4]|=2。
例2 加法群<Z5 ,+ >= {[0], [1], [2], [3], [4]}中,[0]是单位元,
例3 加法群<Z,+ >中,0是单位元。|0|=1,而其它元素a,|a|=+∞。
例4 乘法群< R* , >中,1是单位元,|1|=1,|-1|=2,而其它元素的阶都是无限。
说明加法群<G,+ >中,元素的阶的定义自然需做相应的变化:
设aG ,能够使ma=0的最小正整数m叫做a的阶,若这样的m不存在,则称a的阶是无限的,a的阶仍记为|a|。
例5 设G={0, 1, 2}是由x3=1的三个复根组成的集合,而G中的代数运算“○”是通常的乘法,那么< G , ○>必为一个乘法群****惯上记为G3,叫做3次单位根群。这里
证事实上
(1)
(2)结合律显然成立(因为复数集C中满足结合律).
(3)0=1是G中的单位元.
(4)0的逆元是0,1与2互为逆元.
所以< G , ○>为一个乘法群。不仅如此,我们还知:
例6 在非零有理数乘群Q*中,1的阶是1,-l的阶是2,其余元素的阶均无限.
例7 在4次单位根群G={1, -1, i, -i}中,1的阶是l,-l的阶是2,i与-i的阶都是4.

性质1 设G是群,那么aG,若存在mZ+,使a m=e |a| m(可知a的阶是有限的)。
证明由于a m=e ,这本身说明|a|<+∞,令|a|=k,
若k > m,则与元素的阶的定义矛盾,故知k  m 。
性质2 设aG, 且若存在mZ+使a m=e |a|=n <+∞, 且n|m(但不能保证n=m)。
证明由整数的带余除法知,g,rZ使m=ng+r, r=0或者0<r<n.
如果r≠0,那么e=a m=ang+r=angar=(an)gar=(e)gar=ar矛盾(∵r<n);
 r=0m=ngn|m.
性质3 设aG且|a|=n,那么n|m  a m=e.
证明“”正是性质2.
“”
性质4 设群G中元素a的阶是m,则|ak|=m/(m,k),其中k为任意整数.
证明首先,设(k,m)=d,且m=dm1,k=dk1,(m1,k1)=1,
则由于|a|=m,就有
,即
其次,设(ak)n=e,则akn=,m|kn,从而m1|k1n,
但(m1,k1)=1,故m1|n,因此, ak的阶是m1,所以|ak|= m1=m/(k,m).
说明若有[m,n]的约数h,使[m,n]=hk,则可得|ck|=h,于是结论(3)又可以改为:
对[m,n]的任一正因数h,G中有阶是h的元素。
性质9 群的元素和它的逆元有相同的阶.
证明设群G的元素a与a-1的阶分别为m,n,
由于a m=e,于是(a-1)m= (am)-1 =e-1=e,
由性质l,n|m,而
an=[(a-1)-1]n= [(a-1) n]-1 =e-1=e,
于是m|n,因此,m=n。