详解分配问题中的12态问题精编版.doc

详解分配问题中的12态问题详解分配问题中的12态问题分配问题是组合数学的经典,12态问题则是分配问题的经典。对12态问题的深入探究是加深对组合数学的理解和提升递推公式归纳能力的一条可行路径。不少书上都有提到12态问题的求解方法,但真正地作出详细解答的屈指可数,这对许多初学者是十分不利的,所以,本文献给那些依然挣扎于其中的初学者。所谓12态问题,指:有n个球,把它们放入k个盒子中,有几种分配方法。对球和盒子来说,我们只考虑两种极端情况,这几个球可能是完全相同,也可能是互不相同,这k个盒子也是如此,就有4种情况:1、相同的n个球放入相同的k个盒子中。2、不相同的n个球放入相同的k个盒子中。3、相同的n个球放入不相同的k个盒子中。4、不相同的n个球放入不相同的k个盒子中。并且对整个问题来说,有3种限制条件:①每个盒子中的球爱放几个放几个,也可以不放。②每个盒子要么不放,要么放一个(可以知道拿来装球的盒子数就是n个)。③每个盒子起码放一个。综上所述,据乘法原理,这个分配问题就有2×2×3=12种状态,故称12态问题。如何来解这12种状态呢?有一个表格在很多书上都有,如下:n个球k个盒限制条件①限制条件②限制条件③全不同全不同knP(k,n)k!·S(n,k)全同全不同C(k+n-1,n)C(k,n)C(n-1,k-1)全不同全同∑S(n,i)1S(n,k)全同全同p(n+k,k)1p(n,k)表中给出12种状态的计算公式,但死背的会不了,领会的忘不了,所以这12个公式到底如何得来,笔者在此一一解释。{注:本文直接引用函数:集合分拆S(n,k);正整数分拆p(n,k);定理:p(n,1)+p(n,2)+……p(n,k)=p(n+k,k);以及组合数学的各种知识,文中不作说明;}状态1:不同球,不同盒子,限制条件①;求解公式:F=kn证明:对每个球来说,都有k个盒子来选择放入,据乘法原理,则有F=kn状态2:不同球,不同盒子,限制条件②;求解公式:F=P(k,n)证明:从k个盒子中取出n个盒子来装这n个球,由于球和盒子是互不相同的,我们把球按顺序排开,取出n个盒子按某种次序摆放,摆第一位的球装入摆第一位的盒子中,第二位的球装入摆第二位的盒子中,以此类推,就可以得到一种方案,那么为了产出另一种方案,只要调换盒子的次序就可以了。n个盒子可产生n!种排序方案,再乘上k个盒子取n个盒子的方案数,就有F=C(k,n)·n!,即F=P(k,n)。可以看出问题的本质就是k个元素中取n个元素出来排列。状态3:不同球,不同盒子,限制条件③;求解公式:F=k!·S(n,k)证明:由于每个盒子起码放入1个球,所以可以把这n个不同的球看成n个不同元素的集合,把“分配进k个盒子中”看成把这个集合拆分成k部分,那么原问题则是S(n,k)集合分拆。但不要忘了,盒子是互不相同的,跟状态2一样,固定球的顺序,调换盒子的次序,得到盒子有k!种排序方案,每种方案都对应着一个S(n,k),则有F=k!·S(n,k)。状态4:同球,不同盒子,限制条件①;求解公式:F=C(k+n-1,n)证明:我们可以使每种盒子只能装一个球,但每种盒子有多个,当我们要往第t种盒子装g个球,就从第t种中取g个来装,把原问题进行转化。同时我们把这k种盒子看成集合中的k个元素,从转化后的问题的角度来看,不就是从集合中取出n个元