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构造数学模型 巧解三角函数.doc


文档分类:中学教育 | 页数:约9页 举报非法文档有奖
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构造数学模型巧解三角函数构造数学模型巧解三角函数构造数学模型是一种比较重要、灵活的思维方式,它没有固定的模式。在解题中要想用好它,需要有敏锐的观察、丰富的联想、灵活的构思、创造性的思维等能力。应用好构造思想解题的关键有二:一是要有明确的方向,即为什么目的而构造;二是弄清条件的本质特点,以便重新进行逻辑组合。常用的有构造命题、构造表达式、构造几何体等,本文拟就通过介绍几种解三角函数的具体问题,对构造的各种思维方式作一些探讨。1构造直角三角形三角函数来自三角形,回到三角形中去,利用三角形的性质来解题。例1设x∈[,],求证:cscx-ctgx≥-1思路分析:由、1联想等腰直角三角形,不仿构造一个等腰直角三角形来研究。作Rt⊿ABC,令∠C=900,AC=1,在AC上取一点D,记∠CDB=x,则BD=cscx,CD=ctgx,AD=1-ctgx,利用AD+DB≥AB=,可得cscx-ctgx≥-1,等号仅在x=时成立。2构造单位圆利用三角函数的特点,构造单位圆,用正弦线、余弦线、正切线的大小来解题。例2若0<β<α<,求证:α-β<tgα-tgβ思路分析:构造单位圆,借助三角函数线与三角函数式的关系,把数的比较转化为几何图形面积的比较。作单位圆O,AP1=β,AP2=α,∴P1P2=α-β,AT1=tgβ,AT2=tgα,S⊿ATO=tgα,S⊿APO=tgβ,由于S扇形OAP=α,S扇形OAP=β。∴S扇形OPP=(α-β),S⊿OTT=tgα-tgβ。则S⊿OTT>S扇形OPP 即(α-β)<(tgα-tgβ)所以α-β<tgα-tgβ3构造函数表达式利用函数自身的特性,及函数的奇偶性、增减性等来解题。例3已知x、y∈[-,],a∈R,且,求cos(x+2y)思路分析:由x3+sinx与2(4y3+sinycosy),这两部分形式完全类似,由此可构造函数形式。设f(t)=t3+sint,t∈[-,],易证f(t)在[-,]上为单调递增。又题中条件变为,得f(x)=f(-2y),x=-2y。所以cos(x+2y)=0。4构造二元一次方程利用方程解的特点来解题。例4已知f(x)=asinx+bcosx,a、b为常数,又存在x1、x2,使f(x1)=f(x2)=0,且x1-x2≠kπ,k∈Z,求证:对一切实数x,f(x)恒等于0。思路分析:由题设可得,视a、b为未知数,则构造出一个二元一次方程,再利用方程组特点去证之。由消元法得sinx1cosx2-sinx2cosx1=sin(x1-x2)≠0,故方程组只有零解,即a=b=0,f(x)=0•sinx+0•cosx=0。所以对一切实数x,f(x)恒等于0。构造一元二次方程利用一元二次方程解的特点及根的判别式来解题。例5已知A、B、C是⊿ABC的三内角,sinA≠sinB,且(sinC-sinA)2-4(sinA-sinB)(sinB-sinC)=0。求证:0<B≤。思路分析:题中所给等式是b2-4ac的形式,故可构造一元二次方程。又sinA-sinB≠0,故可构造方程(sinC-sinA)x2+(sinA-sinB)x+(sinB-sinC)=0。方程各项的系数之和为0,所以1是方程的一个根。由已知b2-4ac=0,知此方程的加一个根也是1,根据韦达定理得,2sincos=sincos,cos=sin≠0,∴

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  • 时间2019-08-19