函数定义域值域求法(全十一种).doc

高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法,其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组,解此不等式(或组)即得原函数的定义域。例1求函数的定义域。解:要使函数有意义,则必须满足由①解得或。③由②解得或④③和④求交集得且或x>5。故所求函数的定义域为。例2求函数的定义域。解:要使函数有意义,则必须满足由①解得③由②解得④由③和④求公共部分,得故函数的定义域为评注:③和④怎样求公共部分?你会吗?二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数,不能常规方法求解,一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式,一般有两种情况。已知的定义域,求的定义域。其解法是:已知的定义域是[a,b]求的定义域是解,即为所求的定义域。例3已知的定义域为[-2,2],求的定义域。解:令,得,即,因此,从而,故函数的定义域是。(2)已知的定义域,求f(x)的定义域。其解法是:已知的定义域是[a,b],求f(x)定义域的方法是:由,求g(x)的值域,即所求f(x)的定义域。例4已知的定义域为[1,2],求f(x)的定义域。解:因为。即函数f(x)的定义域是。三、逆向型即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R,求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。例5已知函数的定义域为R求实数m的取值范围。分析:函数的定义域为R,表明,使一切x∈R都成立,由项的系数是m,所以应分m=0或进行讨论。解:当m=0时,函数的定义域为R;当时,是二次不等式,其对一切实数x都成立的充要条件是综上可知。评注:不少学生容易忽略m=0的情况,希望通过此例解决问题。例6已知函数的定义域是R,求实数k的取值范围。解:要使函数有意义,则必须≠0恒成立,因为的定义域为R,即无实数①当k≠0时,恒成立,解得;②当k=0时,方程左边=3≠0恒成立。综上k的取值范围是。四、实际问题型这里函数的定义域除满足解析式外,还要注意问题的实际意义对自变量的限制,这点要加倍注意,并形成意识。例7将长为a的铁丝折成矩形,求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式,并求函数的定义域。解:设矩形一边为x,则另一边长为于是可得矩形面积。。由问题的实际意义,知函数的定义域应满足。故所求函数的解析式为,定义域为(0,)。例8用长为L的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架,如图,若矩形底边长为2x,求此框架围成的面积y与x的函数关系式,并求定义域。解:由题意知,此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积,如图。因为CD=AB=2x,所以,所以,故根据实际问题的意义知故函数的解析式为,定义域(0,)。五、参数型对于含参数的函数,求定义域时,必须对分母分类讨论。例9已知的定义域为[0,1],求函数的定义域。解:因为的定义域为[0,1],即。故函数的定义域为下列不等式组的解集:,即即两个区间[-a,1-a]与[a,1+a]的交集,比较两个区间左、右端点,知(1)当时,F(x)的定义域为;(2)当时,F(x)的定义域为;(3)当或时,上述两区间的交集为空集,此时F(x)不能构成函数。六、隐含型有些问题从表面上看并不求定义域,但是不注意定义域,往往导致错解,事实上定义域隐含在问题中,例如函数的单调区间是其定义域的子集。因此,求函数的单调区间,必须先求定义域。例10求函数的单调区间。解:由,即,解得。即函数y的定义域为(-1,3)。函数是由函数复合而成的。,对称轴x=1,由二次函数的单调性,可知t在区间上是增函数;在区间上是减函数,而在其定义域上单调增;,所以函数在区间上是增函数,在区间上是减函数。,其值域可通过观察得到。。解:∵∴显然函数的值域是:。解:∵故函数的值域是:。。解:将函数配方得:∵由二次函数的性质可知:当x=1时,,当时,故函数的值域是:[4,8]。解:原函数化为关于x的一元二次方程(1)当时,解得:(2)当y=1时,,。解:两边平方整理得:(1)∵∴解得:但此时的函数的定义域由,得由,仅保证关于x的方程:在实数集R有实根,而不能确保其实根在区间[0,2]上,即不能确保方程(1)有实根,由求出的范围可能比y的实际范围大,故不能确定此函数的值域为。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。∵代入方程(1)解得:即当时,原函数的值域为:注:由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除。,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例