等积法求体积点到面的距离【教师版】.doc

等积法求体积点到面的距离【教师版】等积法求三棱锥的体积【教师版】2014/10/14由于三棱锥是由4个三角形围成的四面体,任何一个三角形都可以看成其底面。但在求体积时需要选择合适的底和高,这就需要灵活换底面,但是三棱锥的体积保持不变。这种方法我们称为“等积法”,它是三棱锥求体积的巧妙方法,也是其“专属产品”。其他的,如四棱锥求体积就不能随意换底,不能用等积法求体积。另外,等积法的优越性还体现在求“点到平面的距离”中。【注意】等积法求体积时,要谨记“先证后求”的原则,先作出或证明底面的高,再计算三棱锥的体积。例1例2.(2011佛山一中三校联考)如图,已知三棱锥A—BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M为AB中点,D为PB中点,且△PMB为正三角形。(Ⅰ)求证:DM∥平面APC;(Ⅱ)求证:平面ABC⊥平面APC;(Ⅲ)若BC=4,AB=20,求三棱锥D—:(Ⅰ)由已知得,是ABP的中位线……………2分……………4分(Ⅱ)为正三角形,D为PB的中点,,…………………5分…………………6分又……………………7分又………………9分平面ABC⊥平面APC………………10分(Ⅲ)∵,是三棱锥M—DBC的高,且MD=…11分又在直角三角形PCB中,由PB=10,BC=4,可得PC=………12分于是=,………………………………………………13分=…………………………14分例3.(茂名2010二模)如图,在底面是菱形的四棱锥S—ABCD中,SA=AB=2,(1)证明:平面SAC;(2)问:侧棱SD上是否存在点E,使得SB//平面ACE?请证明你的结论;(3)若,求几何体A—SBD的体积。      :(1)四棱锥S—ABCD底面是菱形, 且AD=AB, 又SA=AB=2, , 又,2分 平面ABCD,平面ABCD,从而SABD3分 又, 平面SAC。4分(2)在侧棱SD上存在点E,使得SB//平面ACE,其中E为SD的中点6分 证明如下:设,则O为BD的中点, 又E为SD的中点,连接OE, 则为的中位线。7分 ,又平面AEC,SB平面AEC8分 平面ACE10分(3)当时,12分 几何体A—SBD的体积为 14分点到面的距离一、知识点(求点到面的距离主要方法:)(1)直接法:由定义作出垂线段并计算,用线面和面面垂直的判定及性质来作;(2)转移法:若直线平面,则直线上任意一点到平面的距离相等;(3)等体积法:用同一个三棱锥选不同底计算体积,再求高,即点到面的距离。二、基础热身1、在棱长为的正方体中找出表示下列距离的垂线段:直接法:(1)点到面的距离;(2)到面的距离;(3)点到面的距离.(4)求C到平面的距离。转移法:棱长为1的正方体中,分别是棱中点,求点到平面的距离提示:因为,所以点到平面的距离即为点到平面的距离。作,证明。。【活学活用】3、在棱长为1的正方体中,E,F分别为棱和CD的中点,求点F到平面的距离。提示:法一直接法:将三角形扩大到平行四边形,高。取的中点G,连接、EG,过F作垂线FH⊥。可以证得EG//,所以平面,即平面。可以证得EG⊥平面,所以EG⊥FH由FH⊥、EG⊥FH,EG ∩  = G 可知FH⊥平面所以FH即F到平面距离。根据勾股定理可以求得:,又知:△的面积 = S四边形 - S△ - S△ - S△FGC,。法二:转移法:平面,作。等积法求点到面的距离:,E、F分别是、CD的中点,求点B到平面的距离。等积法三、知识运用例1:如图四棱锥,,面,是线段上一点,.(1)证明:(2)求点的距离。ABCDPEFEX1如图,在边长为a的菱形ABCD中,,E,F是PA和AB的中点。(1)求证:EF//平面PBC;(2)求E到平面PBC的距离。提示:由(1)知EF//平面PBC,所以E到平面PBC的距离等于点F到平面PBC的距离,即为所求。例2:(2010江苏卷)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=900。求点A到平面PBC的距离。解析(方法一)分别取AB、PC的中点E、F,连DE、DF,则:易证DE∥CB,DE∥平面PBC,点D、E到平面PBC的距离相等。又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。由(1)知:BC⊥平面PCD,所以平面PBC⊥平面PCD于PC,因为PD=DC,PF=FC,所以DF⊥PC,所以DF⊥平面PBC于F。易知DF=,故点A到平面PBC的距离等于。(方法二)等体积法:连结AC。设点A到平面PBC的距离为h。因为AB∥DC,∠BCD=900,所以∠ABC=900。从而AB=2,BC=1,得的面积。由PD⊥平面ABCD及PD=1,得三棱锥P-ABC的体积。因为PD⊥平面ABC