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-Microsoft-Word-97---2003-Document第三节算子和算子§   为方便计,我们引入倒三角形算子,   它也称为哈密顿(Hamilton)算子,“”读作那布拉,只是一个运算符号(即是一个微分子运算符号,又是一个矢量运算符号),当数量函数或矢量函数从右方“乘”(数乘、点乘、叉乘)时,就有完全确定的意义,即规定:这样,梯度、散度、旋度就可以分别简记为,,   算子有好多条运算规则,利用这些规则来推导有关梯度、散度、旋度的恒等式是比较方便的,关于这方面的基本内容可参看本章第四节.   将作用到数量函数和矢量函数,其运算仅包含一阶微分运算,.   对函数两次使用算子只有以下五处情况:1o2o3o4o5o其中2o和4o可以验证=0,=,我们有   第四节算子的运算在讨论梯度、散度、旋度时,我们引进了算子而,,   在前面一些章节和****题中我们证明了不少有关梯度、散度、:(1)div,(2)rot,等,   这些等式我们都是利用梯度、散度、旋度的表达方式进行计算而得到的,计算常较复杂,所得的结果也难于记忆,现在我们归结出几条算子的运算法则,以供参考.   注意到是一个符号矢量,又是一个微分算子,这就决定了在运算中的二重性,既要当做一个矢量来进行矢量运算,、加法规则,,(其中、是常量).2、乘法规则,,,,,.   这里记号“”表示中的微分运算只作用在上,同样规定记号,…的意义,例如3、的作用方式   一定要作用在一人数量函数或矢量函数时才有实际意义,其作用方式有三种:   ,读作“乘”,,读作“点乘”,,读作“叉乘”注意到“”的后面必需是数量函数,而“”“”,如,,加法规则中的三个等式,我们在****题中利用梯度、旋度、散度的表达式已证明过,对于乘法规则中的几个等式,在这里只证明其中的一个,   证明     可以看到,:,                     (),                      ()                     ()这里举一个例子说明这些公式的用法.   例1  (),注意到这公式右方第一项还可写成:,,,但将这公式用到上情况就不一样了,将所有可能采取的各种次序写在下面: ,,,,由于在中,要受到前面两个的作用,,即另外为了方便起见,我们定义算子:,并规定 由定义知,和的意义是完全不相同的.   例2            上述式子中,例如“”,因只作用在上,看成常矢量而可提到的前面来,又如“”因只作用在上就不必写成了,记成即可.   例3 求,,并验证:,   解  将公式()用到上,在这里只作用在上,对不起作用,因而得到的等式右方一项为,而第二项为,即有                      (*)同理而    (**)由(*)及(**)两式即有   例4 验证,其中a是常矢量,   证明  由斯托克斯公式在其中取,即有           而,       故有 ,   例5 验证,               ()              ()   证明 由高斯公式,在其中取,即有,        .同理有()减去()即得()式.(),()两式分别称为第一,第二格林公式,(有些没有证明过的留待读者在****题中加以证明).,,,,,,,,,,,,,,..