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高中数学知识要点重温(19)空间中的角和距离知识点分析.doc


文档分类:中学教育 | 页数:约7页 举报非法文档有奖
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高中数学知识要点重温(19):所有求空间角与距离的问题最终都要转化到平面上求解,有时还可以将要求的角(或线段)所在的平面分离出来,这样清楚醒目,便于求解,不易出错。QBCPADON图1-。①通过平移使之成为一个平面角,然后解三角形求得;②在空间直角坐标系中利用向量的夹角公式。[注意]异面直线所成角的范围是:(00,900],如:cos<,>=-,则异面直线a,os。[举例]如图,已知两个正四棱锥的高分别为1和2,,(Ⅰ)证明:;(Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角;解析:(Ⅰ)记AC、BD交于O,连PO、QO,则PO⊥面ABCD,QO⊥面ABCD,∴P、Q、O共线,PQ⊥面ABCD;(Ⅱ)方法一:“平移”:注意到AC、PQ交于O,取OC的中点N,连结PN,BN,QBCPADON图1-2xyz∵,∴,故AQ∥PN.∠BPN是异面直线AQ与PB所成的角(或其补角).∵∴:“建系”:由题设知,ABCD是正方形,∴.由(I),平面,故可以分别以直线CA、DB、QP为轴,轴,轴建立空间直角坐标系(如图1-2),由题设,相关各点的坐标分别是,,,,,于是注:在“平移”时常用到一些平面图形的性质,如:三角形的中位线、梯形中位线、平行四边形、平行线分线段成比例定理的逆定理甚至三角形相似等。[巩固1]异面直线a,b所成的角为600,则过空间中一点P与a,b都成300的直线有几条?与a,b都成500的直线有几条?与a,b都成600的直线有几条?与a,b都成700的直线有几条?[变形]过大小为600的二面角外一点P作与它的两个面都成600的直线有几条?[巩固2]设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点,DE⊥AB于E(如图).现将△ADE沿DE折起,使二面角A-DE-B为45°,此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B,则M、-“抓住”直线在平面内的射影,然后在直角三角形内求得;直线与平面所成的角是直线与平面内任意直线所成角的最小值。线面角的范围:[00,900]。[举例1]在如图3-1所示的几何体中,平面,平面,,且,.(07高考浙江理16)解析:方法一:“找射影”。过M作MF⊥ED于F,连CF,由CM⊥AB,CM⊥AE得CM⊥面ABDE,故CM⊥ED,∴ED⊥面CMF,于是有面CED⊥面CMF于CF,过M作MH⊥CFF于H,则MH⊥面CED,∴∠MCH为与平面所成的角;设,,在直角梯形中,,是的中点,所以,,,得是直角三角形,其中,∴MF=在中,CM=MF,∴,:“作垂面”是求作点M在面内的射影的最重要、最常用的方法,其过程是:过M点作平面⊥于,则M在面内的射影M/∈。方法二:“建系”。如图,以点为坐标原点,以,分别为轴和轴,过点作与平面垂直的直线为轴,建立直角坐标系,设,则,,.,.设向量与平面垂直,则,,即n·=0,n·=0,∵,,得:,,即,由向量夹角公式得:cos<n,>=,直线与平面所成的角是与夹角的余角,所以,:线与面的法向量所成的角与线面角互余;注意到线面角不为钝角,故:AB与面所成的角为:a

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  • 时间2019-08-22