高中数学竞赛讲义-二次函数（2）新人教A版.doc

§6二次函数(2)二次方程问题其实质就是其相应二次函数的零点(图象与x轴的交点)问题,因此,二次方程的实根分布问题,即二次方程的实根在什么区间内的问题,借助于二次函数及其图象利用形数结合的方法来研究是非常有益的。设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的二实根为x1,x2,(x1<x2),Δ=b2-4ac,且α、β(α<β)是预先给定的两个实数。 (α,β)内,方程系数所满足的充要条件: ∵α<x1<x2<β,对应的二次函数f(x)的图象有下列两种情形(图1) 当a>0时的充要条件是:Δ>0,α<-b/2a<β,f(α)>0,f(β)>0 当a<0时的充要条件是:Δ>0,α<-b/2a<β,f(α)<0,f(β)<0 两种情形合并后的充要条件是: Δ>0,α<-b/2a<β,af(α)>0,af(β)>0  ① (α,β)内,方程系数所满足的充要条件: ∵α<x1<β或α<x2<β,对应的函数f(x)的图象有下列四种情形(图2) 从四种情形得充要条件是: f(α)·f(β)<0 ② [α,β]内方程系数所满足的充要条件: (1)两根分别在区间[α,β]之外的两旁时: ∵x1<α<β<x2,对应的函数f(x)的图象有下列两种情形(图3): 当a>0时的充要条件是:f(α)<0,f(β)<0 当a>0时的充要条件是:f(α)>0,f(β)>0 两种情形合并后的充要条件是: af(α)<0,af(β)<0 ③(2)两根分别在区间[α,β]之外的同旁时: ∵x1<x2<α<β或α<β<x1<x2,对应函数f(x)的图象有下列四种情形(图4): 当x1<x2<α时的充要条件是: Δ>0,-b/2a<α,af(α)>0 ④当β<x1<x2时的充要条件是:Δ>0,-b/2a>β,af(β)>0 ⑤二次函数与二次不等式前面提到,一元二次不等式的解集相应于一元二次函数的正值、负值区间。解不等式与证明不等式成立,经常要用到二次函数的极值性质、单调性、图象与x轴的位置关系等。例题讲解已知方程x2+2px+1=0有一个根大于1,有一个根小于1,则P的取值为。如果方程(1-m2)x2+2mx-1=0的两个根一个小于零,另一个大于1,试确定m的范围。已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0).若方程f(x)=x无实根,求证:方程f[f(x)]=x也无实根,对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),求证,必存在x=±M≠0,使f(±M)均与a同号。若a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn都是实数,求证:(a1b1+a2b2+…+anbn)2≤(a12+a22+…+a2n)(b12+b22+…+b2n)(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的两个根x1,x2满足0<x1<x2<1/a。(1)当x∈(0,x1)时,证明x<f(x)<x1 (2)设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称,证明:x0<x1/2。,关于X的二次方程7x2-(k+13)x+k2-k-2=0的两个实根α和β分别满足0<α<1和1<β<2?=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5在[-3,3]上的最小值是。例题答案::记f(x)=x2+2px+1,则f(x)