基本不等式与其应用知识梳理与典型练习题(含标准答案).docx

+b若a>0,,b>0,则 2 ≥ab,当且仅当 时取“=”.这一定理叙述为:两个正数的算术平均数 :运用均值不等式求最值时,必须注意以下三点:(1)各项或各因式均正;(一正)(2)和或积为定值;(二定)(3)等号成立的条件存在:含变数的各项均相等,取得最值. (三相等)(a,b∈R).(1)a+b≥2ab(2)ababa,b02注:不等式a2+b2≥2ab和ab≥ab它们成立的条件不同,前者只要求a、2b都是实数,而后者要求a、:ab≤(ab)(3)ab≤a2b(a,b∈R).2ba(4)a+b≥2(a,b同号且不为0).(5)a2a2+b2b2(a,b∈R).2(6)a2b2ab222ab11a,b0aba3+b3+c3(7)abc≤3;a,b,c01/12(8)a+b+c303≥abc;a,b,、最小值问题(1)求最小值:a>0,b>0,当ab为定值时,a+b,a2+b2有,即a+b≥,a2+b2≥.(2)求最大值:a>0,b>0,当a+b为定值时,ab有最大值,即;或a2+b2为定值时,ab有最大值(a>0,b>0),,b∈R,且a+b=3,则2a+2b的最小值是():因为2a>0,2b>0,由基本不等式得 2a+2b≥2 2a·2b=2 2a+b=4 2,3当且仅当a=b=2时取等号,>0,b>0,且a+2b-2=0,则ab的最大值为( ) :∵a>0,b>0,a+2b=2,∴a+2b=2≥2 2ab,即ab≤=1,b= a和b(a<b),其全程的平均时速为v,则( )<v< ab = aba+b a+<v< 2 = 2解:设甲、乙两地之间的距离为 2ab 2ab∵a<b,∴v= = < = -a=2ab-a=ab-a>a-a=0,∴v>+ba+ba+b2014·上海若实数,y满足=,则2+2y2的最小值为________.()xxy1x2222≥,当且仅当4时等号成立故填解:由xy=1得x+2y=x+22x=±(m,n)在直线x+y=1位于第一象限内的图象上运动,则log2m+:由条件知,m>0,n>0,m+n=1,所以mn≤m+n21,=241当且仅当m=n=2时取等号,1∴log2m+log2n=log2mn≤log24=-2,故填-(x+5)(x+2)(x>-1)的值域.(1)求函数y=x+1解:∵x>-1,∴x+1>0,令m=x+1,则m>0,且y=(m+4)(m+1)m=m+4+5≥2m·4+5=9,当且仅当m=2时取等号,故ymin=→+∞或m→0时,y→+∞,故原函数的值域是[9,+∞).(2)下列不等式一定成立的是 ( )+1>lgx(x>0)+1≥2(x≠kπ,k∈Z)+1≥2||(x∈R)+1>1(x∈R)3/12解:A中,x2+14≥x(x>0),当x=12时,x2+14=,sinx+sinx≥2(sinx∈(0,1]);1sinx+sinx≤-2(sinx∈[-1,0)).中,x2-2|x|+1=(|x|-1)2≥0(x∈R).中,x2+11∈(0,1](x∈R).故C一定成立,:ax2+bx+c这里(1)是形如 f(x)=的最值问题,只要分母x+d>0,都可以将x+def(x)转化为f(x)=a(x+d)+x+d+h(这里ae>0;若ae<0,可以直接利用单调性等方法求最值),再利用基本不等式求其最值 .(2)牢记基本不等式使用条件——一正、二定、三相等,-4t+1(1)已知t>0,则函数f(t)= 的最小值为 .tt2-4t+1 1解:∵t>0,∴f(t)= t =t+t-4≥-2,当且仅当t=1时,f(t)min=-2,故填-2.(2)已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求:(Ⅰ)xy的最小值;(Ⅱ)x+:(Ⅰ)由2x+8y-xy=0,得x+y=1,又x>0,y>0,则1=8+2≥28·2=8,得xy≥64,xyxyxy当且仅当x=4y,即x=16,y=(Ⅱ)解法一:由2x+8y-xy=0,得x=y-2,∵x>0,∴y>2,x+y=y+8y=(y-2)+16+10≥18,-2y-