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高等数学A(下)期末考试复****知识要点多元函数求偏导数,多元复合函数求偏导数。讨论二元函数的可微性。偏导数存在函数取得极值的必要条件与充分条件。利用对称性简化重积分的计算。二重积分计算、极坐标系下二重积分的计算。球坐标系下三重积分的计算。功的计算,曲线积分与路径无关性。对坐标的曲面积分的定义与计算。高斯公式的应用。数项级数敛散性判别法,比值判别法。幂级数的收敛性质以及收敛区间。函数展开成周期为2∏的正弦级数、余弦级数。一、多元函数求偏导数,多元复合函数求偏导数1、设函数由方程所确定,则=。2、设函数由方程所确定,其中有一阶连续偏导数,则=。3、设,则=。4、考虑二元函数的下面四条性质:①在点处连续;②在点处的两个偏导数连续;③在点处可微;④在点处的两个偏导数存在。若用“”表示可由性质推出性质,则有()②③①③②①③④①③①④5、若,则=()(A) (B)(C) (D)6、设在极坐标:下不依赖于,即,其中有二阶连续导数,则=()。(A);(B);(C) ;(D)。7、设具有二阶连续导数,而,则=()。(A);(B);(C); (D);8、设,则()。A0;B不存在;C1;D;答案:1、;2、;3、;4(A);5、(D)6、(A);7、(C);8、(C)9、具有连续的二阶导数,求。10、设由方程确定,其中具有连续偏导数,证明。11、设,而由方程所确定,其中具有一阶连续偏导数,求。二、讨论二元函数的可微性1、设,根据偏导数定义求。2、设,则在原点处(D).(A)偏导数不存在;(B)不可微;(C)偏导数存在且连续;(D)、设,证明在处连续且偏导数存在,但不可微三、偏导数存在函数取得极值的必要条件与充分条件1、函数在条件下的极大值是(C)(A)(B) (C) (D) 2、点(A)是二元函数的极小点。2、设函数在点处可微,则点是函数的极值点的必要条件为3、若函数在点处取得极小值-3,则常数之积_____。答:304、若函数在点处取得极值,则常数。答:。5、讨论函数的极值。四、利用对称性简化重积分计算1、计算,其中是闭区域:。2、计算二重积分,其中3、设是由曲面所围的有界闭区域,计算。4、设(其中则。答:。5、其中是由球面所围成的闭区域.(答:0)五、二重积分的计算,极坐标系下二重积分的计算1、二次积分在极坐标系下的累次积分为。答:2、若,则区域D为()。答:A3、设域是域D上的连续函数,则()(A)(B)(C)(D)答:A4、设为,当()时,.(A)1;(B);(C);(D).答:B5、当是()围成的区域时,二重积分(A);(B);(C);(D).答:A6、计算其中D是直线所围成的闭区域。7、,其中是由直线及所围成的闭区域。8、计算二次积分9、计算二重积分其中D是以为顶点的三角形区域。10、计算二次积分11、试求曲面x2+y2=6-z与所围立体的体积。六、球坐标系下三重积分的计算1、设是由所确定的球体,试将化成球面坐标下的三次积分式。答:2、设Ω是由闭曲面所围的立体,计算。(答:)3、设连续,且,求,其中是由球面围成的立体。(答:1)七、功的计算,曲线积分与路径无关性1、设在单连通区域内有一阶连续偏导数,则在内与路径无关的条件是().(A)充分条件;(B)必要条件;(C):C2、设,因为,所以()。,有;