随机变量列.doc

随机变量列§,我们从频率的稳定性出发,引入了=a(n)即随机变量序列依概率收敛于常数a这么一个概念。我们自然可以把所讨论的问题推广到a不是一个常数,而是一个随机变量这样的情形,于是需要引入下面的定义。,,,…,,如果对任意的>0,都有P()则称随机变量序列依概率收敛于,并记作或(n)由此可知,前一节中讨论过的大数定律只是上述依概率收敛的一种特殊情况。我们已经知道分布函数全面地描述了随机变量的统计规律,如果已知(n),那么它们相应的分布函数(x)与F(x)之间的关系会有什么样的关系呢?一个猜测是,对所有的x,都有(x)F(x)(n)成立,这个猜测对不对呢?让我们看一个很简单的例子。,都是服从退化分布的随机变量,且P(=0)=1,P(=-)=1,n=1,2,…于是对任给的>0,当n>时有P(≥)=P(≥)=0所以(n)成立。又设,的分布函数分别为F(x),(x),则F(x)=F(x)=显然,当x0时,(x)=F(x)成立,当x=0时,(0)=1=10=F(0)这个简单的例子表明,一个随机变量序列依概率收敛于某一个随机变量,相应的分布函数列不一定是在每一点上都收敛于这个随机变量的分布函数的。但是,如果仔细观察一下这个例子,就会发现收敛关系不成立的点:x=0,恰好是F(x)的不连续点。如果我们撇开这些不连续点而只考虑F(x)的连续点。那么在上述例子中,当(n)时,它们的分布函数之间就有(x)=F(x)(x是F(x)的连续点)成立。现在为把讨论引向一般的情形,有必要引入下述定义。(x),(x),(x),…,(x)是一列分布函数,如果对F(x)的每个连续点都x,有(x)=F(x)成立,则称分布函数列弱收敛于分布函数F(x),并记作(x)F(x)()这里称呼“弱收敛”是自然的,因为它比在每一点上都收敛的要求在确是“弱”了些。如果随机变量序列(=1,2,3,…)的分布函数(x)弱收敛于随机变量的分布函数F(x),也称按分布收敛于,并记作q(n)(n)并不能推出相应的分布函数列(x)在每一点上收敛于F(x),而只是有(x)F(x)成立,现在自然要问,这个结果在一般情形下是否成立?也就是说,是否在任何情形下,都能从推出相应的分布函数列(x)F(x)?回答是肯定的,这就是下面的定理。,,,…,依概率收敛于随机变量,即q(n)则相应的分布函数列(x),(x),…,(x)弱收敛于分布函数F(x),即(x)F(x)(n)到这里,许多读者一定会问,这个定理的逆命题是否成立?即是否能从分布函数列的弱收敛(x)F(x)推出相应的随机变量序列依概率收敛:?遗憾的是,一般说来这个的结论是不成立的,这只要研究一下下面的例子就可以明白了。抛掷一枚均匀的硬币,有两个可能结果:=出现正面和=出现反而,于是有P()=P()=令()=则()是一个随机变量,基分布函数为(x)=这时,若()=-(),则显然()与()有相同的分布函数F(x)。再令=,的分布函数记作(x),故(x)=F(x),于是对任意的x∈R,有(x)=F(x