随机变量的特征函数.doc

,称为X的特征函数,其表达式如下由于,(1);(2)其中表示的共轭;(3)若Y=aX+b,其中a,(4)若X与Y是相互独立的随机变量,则(5)若存在,则可次求导,且对,有(6)一致连续性特征函数在上一致连续(7)非负定性特征函数是非负定的,即对任意正整数n,及n个实数和n个复数,有(8)逆转公式设F(x)和分别为X的分布函数和特征函数,则对F(x)的任意两个点,有特别对F(x)的任意两个连续点,有(9)唯一性定理随机变量的分布函数有其特征函数唯一决定;(10)若连续随机变量X的密度函数为p(x),特征函数为如果,(X=a)=1二项分布几何分布正态分布标准正态分布均匀分布U(a,b)均匀分布U(-a,b)指数分布伽玛分布Ga(a,l),,并以此求E(X)和Var(x).解记q=1-p,则,,,,,,且都服从参数为p的几何分布Ge(p),则由上一题知的特征函数为其中q=1-,,并由特征函数求其数学期望和方差.(1)(a>0);(2)(a>0).解(1)因为此分布的密度函数为所以此分布的特征函数为=又因为所以Var(X)=(2)因为此分布的密度函数为所以此分布的特征函数为又因为当t>0时,有(见菲赫金哥尔茨《微积分学教程》第二卷第三分册或查积分表)所以当t>0时,有而当t<0时,有所以又因为在t=0处不可导,故此分布(柯西积分):也可利用复变函数中的留数理论来计算,方法如下:t>0时,:若X~b(n,p),Y~b(m,p),且X与Y独立,则X+Y~b(n+m,p).证记q=1-p,因为,,所以由X与Y的独立性得,这正是二项分布b(n+m,p)的特征函数,由唯一性定理知X+Y~b(n+m,P). :若X~P(l1),Y~P(l2),且X与Y独立,则X+Y~P(l1+l2).证:因为所以由X与Y独立性得这正是泊松分布P(l1+l2).的特征函数,由唯一性定理知X+Y~P(l1+l2).. :若,且X与Y独立,,,所以由X与Y的独立性得,这正是伽玛分布的特征函数,:若,,且X与Y独立,则证因为,,所以由X与Y的独立性得,这正是分布(n+m)的特征函数,,:.证因为,所以由诸的相互独立性得的特征函数为,这正是伽玛分布的特征函数,,其密度函数