韦达定理练习精选.doc

韦达定理练****精选不解方程说出下列方程的两根和与两根差:(1)(2)(3)已知关于的方程,是否存在负数,使方程的两个实数根的倒数和等于4?若存在,求出满足条件的的值;若不存在,说明理由。已知方程,作一个新的一元二次方程,使它的根分别是已知方程各根的平方的倒数。解方程组在关于的方程中,当两根互为相反数时的值;(2)当一根为零时的值;(3)当两根互为倒数时的值求出以一元二次方程的两根的和与两根的积为根的一元二次方程。解方程组已知一元二次方程的两个实数根满足,,,分别是的,,的对边。(1)证明方程的两个根都是正根;(2)若,求的度数。9、在中,,斜边AB=10,直角边AC,BC的长是关于的方程的两个实数根,求的值。例题1:(1)若关于x的一元二次方程2x2+5x+k=0的一根是另一根的4倍,则k=________(2)已知:a,b是一元二次方程x2+2000x+1=0的两个根,求:(1+2006a+a2)(1+2005b+b2)=__________解法一:(1+2006a+a2)(1+2005b+b2)=(1+2000a+a2+6a)(1+2000b+b2+5b)=6a•5b=30ab解法二:由题意知∵a2+2000a+1=0;b2+2000b+1=0∴a2+1=-2000a;b2+1=-2000b∴(1+2006a+a2)(1+2005b+b2)=(2006a-2000a)(2005b-2000b)=6a•5b=30ab解法三:∵ab=1,a+b=-2000∴(1+2006a+a2)(1+2005b+b2)=(ab+2006a+a2)(ab+2005b+b2)=a(b+2006+a)•b(a+2005+b)=a(2006-2000)•b(2005-2000)=30ab例题2:已知:等腰三角形的两条边a,b是方程x2-(k+2)x+2k=0的两个实数根,另一条边c=1,求:k的值。韦达定理在解题中的应用一、直接应用韦达定理若已知条件或待证结论中含有a+b和a·b形式的式子,+a2-1=0,b+b2-1=0,a≠b,求ab+a+、先恒等变形,再应用韦达定理若已知条件或待证结论,经过恒等变形或换元等方法,构造出形如a+b、a·b形式的式子,、y、z满足x=6-y,z2=xy-:x=、已知一元二次方程两根的关系(或系数关系)求系数关系(或求两根的关系),可考虑用韦达定理例3已知方程x2+px+q=0的二根之比为1∶2,,+px+q=0的两根之差等于方程x2+qx+p=0的两根之差,求证:p=q或p+q=-:设方程x2+px+q=0的两根为α、β,x2+qx+P=0的两根为α'、β'.由题意知α-β=α'-β',故有α2-2αβ+β2=α'2-2α'β'+β'(α+β)2-4αβ=(α'+β')2-4α'β'.①把②代入①,有p2-4q=q2-4p,即p2-q2+4p-4q=0,即(p+q)(p-q)+4(p-q)=0,即(p-q)(p+q+4)=-q=0或p+q+4=0,即p=q或p+q=-、关于两个一元二次方程有公共根的题目,可考虑用韦达定理例5当m为问值时,方程x2+mx-3=0与方程x2-4x-(m-1)=0有一个公共根?:设公共根为α,易知,原方程x2+mx-3=0的两根为α、-m-α;x2-4x-(m-1)=0的两根为α、4-,得α(m+α)=3,①