线性代数第四章练习题答案.doc

线性代数第四章练****题答案第四章二次型 练****4、11、写出下列二次型的矩阵(1)=;(2)=。解:(1)因为=,所以二次型的矩阵为:。(2)因为=,所以二次型的矩阵为:。2、写出下列对称矩阵所对应的二次型:(1);(2)。解:(1)设,则=XTAX==。(2)设,则=XTAX==。练****4、21、用正交替换法将下列二次型化为标准形,并写出所作的线性替换。(1)=;(2)=;(3)=。解:(1)二次型的矩阵A=。A的特征方程为===0,由此得到A的特征值,,。对于,求其线性方程组,可解得基础解系为。对于,求其线性方程组,可解得基础解系为:。对于,求其线性方程组,可解得基础解系为:。将单位化,得,,,令P==,则PTAP=diag(-2,1,4)=。作正交替换X=PY,即,二次型可化为标准形:。(2)类似题(1)方法可得:P=,PTAP=,即得标准形:。(3)类似题(1)的方法可得:P=,PTAP=,即得标准形:。2、用配方法将下列二次型化为标准形:(1)=;(2)=;(3)=。解:(1)先将含有的项配方。=++-+++=+++,再对后三项中含有的项配方,则有=+++=+。设Y=,X=,B=,令Y=BX,则可将原二次型化为标准形。(2)此二次型没有平方项,只有混合项。因此先作变换,使其有平方项,然后按题(1)的方法进行配方。令,即=。则原二次型化为=+=-++=-,设Y=,Z=,B=,令Z=BY,则可将原二次型化为标准形。(3)类似题(2)的方法,可将原二次型化为标准形:。3、用初等变换法将下列二次型化为标准形:(1)=;(2)=;(3)=。(此题与课本貌似而已,注意哈)解:(1)二次型的矩阵为A=。于是=。令C=,作可逆线性变换X=CY,原二次型可化为标准形:=。(2)类似题(1)的方法,原二次型可化为标准形:=。(3)类似题(1)的方法,原二次型可化为标准形:=。4、已知二次型=的秩为2。求参数c的值,并将此二次型化为标准形。解:二次型的矩阵为A=。因为A的秩为2,令detA=0,可得c=3。即=也就是A=,通过初等变换法,即可将其化为标准形:。5、设2n元二次型=试用可逆线性替换法将其化为标准形。解:令,P=,即作正交变换X=CY,二次型可化为标准型:。6、已知二次型=(a>0)通过正交变换化为标准型,求的值及所作的正交替换矩阵。解:因为原二次型可化为,可知原二次型的矩阵的特征值为1,2和5。而原二次型的矩阵为A=。故A的特征方程为===0。