全国大学生数学竞赛试题解答及评分标准(非数学类).doc

全国大学生数学竞赛试题解答及评分标准(非数学类)全国大学生竞赛历年试题名师精讲(非数学类)(2009——2013)第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)解答下列各题(每小题6分共24分,要求写出重要步骤)……(2分);原式………………………………………………………………………………………(2分);……(2分),只要证明发散即可。……………………(2分)因为。…………(2分)而发散,故由比较判别法发散。……………………………………(2分),求的极值。解方程两边对求导,得………………(1分)故,令,得或………(2分)将代入所给方程得,将代入所给方程得,…………………………………(2分)又,故为极大值,为极小值。…………………………(3分),使该切线与曲线及轴所围成的平面图形的面积为,求点A的坐标。解设切点A的坐标为,曲线过A点的切线方程为……………………………………………………………………………(2分);令,由切线方程得切线与轴交点的横坐标为。从而作图可知,所求平面图形的面积,故A点的坐标为。……………………………………………………(4分)二、(满分12)计算定积分解…………………………………(4分)……………………(2分)……………………………………………………………(4分)…………………………………………………(2分)三、(满分12分)设在处存在二阶导数,且。证明:级数收敛。解由于在处可导必连续,由得…………………………………………(2分)……………………………………(2分)由洛必塔法则及定义…………………(3分)所以……………………………(2分)由于级数收敛,从而由比较判别法的极限形式收敛。……(3分)四、(满分12分)设,证明解因为,所以在上严格单调增,从而有反函数………………………………………………………………………………(2分)。设是的反函数,则………(3分)又,则,所以…(3分)…………………(2分)五、(满分14分)设是一个光滑封闭曲面,方向朝外。给定第二型的曲面积分。试确定曲面,使积分I的值最小,并求该最小值。解记围成的立体为V,由高斯公式……………(3分)为了使得I的值最小,就要求V是使得的最大空间区域,即取,曲面……(3分)为求最小值,作变换,则,从而……………………………………(4分)使用球坐标计算,得……………………(4分)六、(满分14分)设,其中为常数,曲线C为椭圆,取正向。求极限解作变换(观察发现或用线性代数里正交变换化二次型的方法),曲线C变为平面上的椭圆(实现了简化积分曲线),也是取正向…(2分)而且(被积表达式没变,同样简单!),………………………………………………………………(2分)曲线参数化,则有,…(3分)令,则由于,从而。因此当时或时………(2分)而…(3分)。故所求极限为……………(2分)七(满分14分)判断级数的敛散性,若收敛,求其和。解(1)记因为充分大时…………(3分)所以,而收敛,故收敛…(2分)(2)记,则=………………(2分)=…………………(2分)=………………………(2分)因为,所以,从而,故。因此。(也可由此用定义推知级数的收敛性)……………(3分)