第三章第三章5章节.ppt

§3-5函数的极值与最大值最小值yy=f(x)x0有f(x)<f(x0)则称f(x0)为f(x)的一个极大值极值的概念是一个局部性的概念.(f(x)>f(x0))(x)在U(x0)(极小值).(极小值点).点x0称为极大值点一、函数的极值及其求法定理1.(Fermat)若f(x)在x0可导,且在x0取得极值,则f'(x0)='(x)为零的点称为f(x)的驻点.(1).(2)连续函数在其导数不存在的点处,=|x|0yxy=x3例如y=x3在x==|x|在x=0处有极小值f(0)=(1)当x<x0时,f(x)>0,当x>x0时,f(x)<0,则f(x)在x0处取极大值;(2)当x<x0时,f(x)<0,当x>x0时,f(x)>0,则f(x).(判别条件I)设f(x)C(U(x0)),:(1)在当x<x0时,f'(x)>(x)单调增加,有f(x)<f(x0)当x>x0时,f'(x)<(x)单调减少,也有f(x)<f(x0).从而有f(x)<f(x0).即f(x0)(2).(x)=x33x29x+:f'(x)=3x26x9=3(x+1)(x3)令f'(x)=0解得驻点x1=1,x2=3x=1:x<1时f'(x)>>1时f'(x)<0x=3:x<3时f'(x)<>3时f'(x)>0极大值f(1)=10.极小值f(3)=(x)=的极值解:x<0时,f'(x)<0,x>0时,f'(x)>0故得极小值f(0)=0xy0定理3.(判别条件II)设f(x)在U(x0)'(x0)=''(x0)0,则(1)当f''(x0)<0时,f(x)在x0取极大值.(2)当f''(x0)>0时,f(x):(1)由f''(x0)<0时,按定义得根据极限保号性,在U(x0)内有又由于f'(x0)=0所以当x<x0时,f'(x)>0,x>x0时f'(x)<0,同理可证(2).于是在U(x0)内,从而由定理2知f(x)在x0取极大值.