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高等数学题库及答案.doc:..1、函数Z二=[f'2〉—了的定义域为{(x,y)0</+于<1且y<4x2|。3、函数Z二=sinexy,则exycosexy(ydx+xdy)。4、 设"/(〒+〉,2),其中/具有二阶导数,则2广+4>,2厂。5、 积分/=(dx["dy= *(纟一1) o6、 设质点在空间中的位置函数广=/(r)=(r+l,4r,r-l),则质点在时刻/=2秒时的速度大小为牛疗。7、设L是任意一光滑曲线,若线积分\Laxydx+exdy与积分路径无关,则a=e。8、JR'匕'd$= 27Taea;其中L为圆周兀=acost,y=asint,(O<t<2/r)。9、 Mu=xyz在点(1,1,1)处沿函数增加最快的方向的方向导数为馆。x—2 v—-z+xy=3在点(2,1,0)处的法线方程为——=—=-/?的球体,工取其外侧球面+ydzdx-zdxdy=(绝对还是条件)条件收敛C1 二 113、 ——的慕级数展式为^(-4rx2n(|x|<-)o1+4厂 /?=() 214、 设a、b、c为单位向量,且满足g+/?+c=0,-\--\-= -3/2。15、 设/⑴是周期为2兀的两数,且它在[-龙,龙)上的表达式为/(力=¥袞:::°,则由收敛定理,/(x)的傅|则叶级数在x=k7T(kwZ)处收敛于 3/2o16、已知直线厶:出=上二1=三±1,平面S:兀+y—z=0,则线面Z间的位置关系为1 2 3平行。二、已知\ABC三边分别为b、c,面积为S,从其内部的动点F向三边作垂线,试问当三条垂线长分别为多少时,它们的乘积最大。(8分)解:设三垂线长度分别为兀,y,z,其乘积为P,则曲已知得目标函数:P= 1分条件:ax-^-by+cz=25, 2 分 3分作拉格朗日函数:L(x,y,z,2)=xyz+2(ax+by+cz-2S)并令Lr=Ly=Lz=LA=0得yz+Aa=0xz+肋=0xy+/lc=0解得2Sx=——3a2S3b 7分2S3c由已知,该问题确实存在最大值且在内部取得•所以,当三垂线长度分别为寻罟,字它们的乘积最大三、利用重积分计算半球面纭:兀2+ +分=2(Z>0)和锥面工2:Z 所围成的立体的体积。(8分)解:设两曲面所围立体为Q,贝UV=JjJkrdydz 2分纭:/+y2+八二2(沦°);工2:Z=后+)“易得投影<1……3分所以V=^dxdydz=Jd&“dz 5分Q=『d&]p(j2-p2-p)dp 6分=^(V2-1) 8分■1四、求幕级数若缶的和函数。(8分)8解:令s(x)=》n=l2h-1•易求得其收敛域为/={xXV1} 2分(2)当兀工0时,冇也收敛 4分x幺2n-1=呼£卓7①宀 6分所以^)=『(空)么=「亠,丄(「仝+「仝)」ln土……7分x山x 1-x2 2山1+兀山l-x2I-xY]+片 5(x)=-ln——,而此时也冇5(0)=0・21-x所以原级数和函数为s(x)二彳lnfP(卜|vl) 8分五、已知空间屮点戶(一1,2,0)及平面S:x+2y—z+l=0。求(1)过点P且垂直于平面的直线方程;(2)点P在平而上的投影处标。(8分)解:(1)平而法向