求定积分的方法.doc

学号
20065030262
本科毕业论文
系(院) 数学与信息科学学院
专业数学与应用数学
年级
姓名
论文题目求定积分的若干方法
指导教师职称副教授
2010 年5月20日
目录
摘要 3
关键词 3
Abstract 3
Keywords 3
前言 3
1. 定义法求定积分 3
定义法 3
典型例题 4
2. 换元法求定积分 5
换元积分法 5
典型例题 5
3. 分部法求定积分 8
分部积分法 8
典型例题 8
4. 区间性质求定积分 9
常见的三种题型 9
典型例题 9
5. 有理函数求积分 11
有理函数积分法 11
典型例题 11
参考文献 13

求定积分的若干方法

摘要:本文主要考虑定积分的计算方法,对一些常用的方法和技巧进行归纳和总结,主要方法包括定义法、换元积分法、分部积分法等,并对每种方法给出了典型例题.
关键词:定积分;换元积分法;分部积分法;有理函数积分
Methods of Calculation on Definite Integral
Abstract: In this paper, we study the calculation of definite integral and some usual methods and techniques putation and described. The chief methods include definition integration, act-for-Yuan integration, and integration by parts and so on. So, different subjects should use different calculation methods in order to simplify the calculation.
Key Words: definite integral;act-for-Yuan integration;integration by parts; integral rational function.
前言
由于函数概念的产生和运用的加深,也由于科学技术发展的需要,一门新的数学分支就继解析几何之后产生了,,可以说它是继欧氏几何后,,首先要求准确性,其次是快速性,,对其分别概述,举例,并加以分析说明,,有了这种积累,才会孕育出技巧.
1 定义法求定积分
定义法
已知函数在上可积,由于积分和的极限唯一性,可做的一个特殊分法
(如等分法等),在上选取特殊的(如取是的左端点、右端点、中点等),做出积分和,然后再取极限,就得函数在的定积分.
典型例题
例1 求,
解因为函数在上连续,所以函数在上可积,采用特殊的方法作积分和.
取,将等分成个小区间,
分点坐标依次为
取是小区间的右端点,即,于是,
,
其中,
=

=
将此结果代入上式之中,有
从上面的例题可见,按照定积分的定义计算定积分要进行复杂的计算,在解题时不常用,但它也不失为一种计算定积分的方法.
2 换元法求定积分
换元积分法
,也相应的变换积分的上下限,这样可以简化计算.
设在上连续,满足
(1)且;
(2)
上述条件(1),同时,,也相应变换积分上下限,这样可以简化计算.
利用换元法的关键在于选择恰当的变换方式,否则可能使变换后的积分更加复杂,难以计算,然而我们没有一般的原则,只能依据被积函数的特点来确定.
典型例题
例2 求
解应用定积分换元积分公式
设,当时,;当时,
.
显然,上述计算方法使用定积分换元公式简便,从而体现了换元积分法的优越性
.
例3 求
解设当时,;当时,
所以,
则,
所以,
则,
.
例4 求
解设,,当时,;当时,
.
例5 求
解令,,当时,;当时,
.
例6 求
分析:由于