单位脉冲函数.doc

在物理和工程技术中,有许多物理、,还有集中于一点或一瞬时的量,例如冲力、脉冲电压、点电荷、,把这种集中的量与连续分布的量来统一处理。单位脉冲函数,又称狄拉克(Dirac)函数,简记为一函数,,,某一瞬时(设为)进入一单位电量的脉冲,现在要确定电路上的电流,以表示上述电路中的电荷函数,则由于电流强度是电荷函数对时间的变化率,即,所以,当时,0;当时,由于不连续,从而在普通导数意义下,,得(),,引进一称为狄拉克(Dirac),对于许多集中于一点或一瞬时的量,例如点电荷点源,集中于一点的质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等,就能够象处理连续分布的量那样,,(当时),或者,其中是含有的任何一个区间,则称为一函数..更一般的情况下,如果函数满足,(当时),或者,其中是含有的任何一个区间,,这种函数并不存在,它只是如下特殊规律的数学抽象;在某定点非常狭小的区域内,所讨论的问题取非常的值;在这个领域之外,=,而把的积分理解为==.特殊情况下,时有于是===.一般工程上都称一函数为单位脉冲函数,将一函数用一个长度等于1的有向线段来表示,这线段的长度表示一函数的积分值,,称为一函数的筛选性质:若为连续函数,则有=.(1)更一般情况,有=(2)(1)==可见,单位脉冲函数与常数1构成了一傅氏变换对;同理,,若时,则由傅氏逆变换得==故1和也构成了一个傅氏变换对。同理,,此处的广义积分是按(1)式计算的,不是普通意义下的积分值,,函数能取傅里叶积分变换的前提条件是它首先应绝对可积即,实际上这个条件非常强,它要求条件较高,、符号函数、单位阶跃函数及正余弦函数等都不满足绝对可积的条件!如此一来,,我们把单位脉冲函数及其傅氏变换应用到其他函数的傅氏变换中,:首先注意,,若,则+为了说明,就必须计算积分,由积分,有将此结果代入的表达式,当时,可得这就表明的傅氏变换为,因此,和构成了一个傅氏变换对。所以单位跃阶函数的积分表达式可以写成,:==.即F{}=.同理,可得F{}