快速傅里叶变换的原理及其应用.docx

快速傅里叶变换的原理及其应用快速傅里叶变换的原理及其应用摘要:快速傅氏变换(FFT),是离散傅氏变换的快速算法,它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性,对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。它对傅氏变换的理论并没有新的发现,但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换,可以说是进了一大步。傅里叶变换的理论与方法在“数理方程”、“线性系统分析”、“信号处理、仿真”等很多学科领域都有着广泛应用,由于计算机只能处理有限长度的离散的序列,所以真正在计算机上运算的是一种离散傅里叶变换. 虽然傅里叶运算在各方面计算中有着重要的作用,但是它的计算过于复杂,大量的计算对于系统的运算负担过于庞大,使得一些对于耗电量少,运算速度慢的系统对其敬而远之,然而,快速傅里叶变换的产生,使得傅里叶变换大为简化,在不牺牲耗电量的条件下提高了系统的运算速度,增强了系统的综合能力,提高了运算速度,因此快速傅里叶变换在生产和生活中都有着非常重要的作用,对于学****掌握都有着非常大的意义。关键词:快速傅氏变换;图像处理;matlab前言: 傅里叶变换在信号处理中具有十分重要的作用,但是基于离散时间的傅里叶变换具有很大的时间复杂度,根据傅里叶变换理论,对一个有限长度且长度为N的离散信号,做傅里叶变换的时间复杂度为,当N很大时,其实现的时间是相当惊人的(比如当N为时,其完成时间为(为计算机的时钟周期)),故其实现难度是相当大的,同时也严重制约了DFT在信号分析中的应用,故需要提出一种快速的且有效的算法来实现。 正是鉴于DFT极其复杂的时间复杂度,1965年..JWCooley和..JWTukey巧妙地利用NW因子的周期性和对称性,提出了一个DFT的快速算法,即快速傅里叶变换(FFT),从而使得DFT在信号处理中才得到真正的广泛应用。傅立叶变化的原理;(1)原理正交级数的展开是其理论基础!将一个在时域收敛的函数展开成一系列不同频率谐波的叠加,从而达到解决周期函数问题的目的。在此基础上进行推广,从而可以对一个非周期函数进行时频变换。从分析的角度看,他是用简单的函数去逼近(或代替)复杂函数,从几何的角度看,它是以一族正交函数为基向量,将函数空间进行正交分解,相应的系数即为坐标。从变幻的角度的看,他建立了周期函数与序列之间的对应关系;而从物理意义上看,他将信号分解为一些列的简谐波的复合,从而建立了频谱理论。当然Fourier积分建立在傅氏积分基础上,一个函数除了要满足狄氏条件外,一般来说还要在积分域上绝对可积,才有古典意义下的傅氏变换。引入衰减因子e^(-st),从而有了Laplace变换。(2)计算方法连续傅里叶变换将平方可积的函数f(t)表示成复指数函数的积分或级数形式。这是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f(t)的积分形式。连续傅里叶变换的逆变换(inverseFouriertransform)为即将时间域的函数f(t)表示为频率域的函数F(ω)的积分。一般可称函数f(t)为原函数,而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数,原函数和像函数构成一个傅里叶变换对(transformpair)。实例应用:例一平稳信号:x=2*sin(2*pi*20*t)+4*sin(2*pi*60*t)+8*cos(2*pi*90*t)+10*sin(2*pi*120*t)利用Matlab语言编写的数字图像处理的例程如下:learallfs=100;N=128;%采样频率和数据点数n=0:N-1;t=n/fs;%时间序列x=2*sin(2*pi*20*t)+4*sin(2*pi*60*t)+8*cos(2*pi*90*t)+10*sin(2*pi*120*t);%信号y=fft(x,N);%对信号进行快速Fourier变换mag=abs(y);%求得Fourier变换后的振幅f=n*fs/N;%频率序列subplot(2,2,1),plot(t,x);xlabel('时间/s');ylabel('振幅');title('滤波前时域图');subplot(2,2,2);plot(f,mag);xlabel('频率/Hz');ylabel('振幅');title('滤波前频域图');N1=11;wc=;hd=fir1(N1,wc);z=filter(hd,1,x);subplot(2,2,3);plot(t,z);xlabel('时间/s');ylabel('振幅');title('滤波后时域图');subplot(2,2,4);plot(f,abs(fft(z)));xlabel('频率/Hz');ylabel('振幅');title('滤波后频域图');在matlab中运行后,实验结果如图:例二:(一)对原图像进行傅立叶变换,实验结果如图1:图1 分析:图像显示了原图像及其