高中数学竞赛讲义(免费).doc

高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛(一试)所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容,但在方法的要求上有所提高。全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试(二试)与国际数学奥林匹克接轨,在知识方面有所扩展;适当增加一些教学大纲之外的内容,所增加的内容是:平面几何几个重要定理:梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。三角形中的几个特殊点:旁心、费马点,欧拉线。几何不等式。几何极值问题。几何中的变换:对称、平移、旋转。圆的幂和根轴。面积方法,复数方法,向量方法,解析几何方法。代数周期函数,带绝对值的函数。三角公式,三角恒等式,三角方程,三角不等式,反三角函数。递归,递归数列及其性质,一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。第二数学归纳法。平均值不等式,柯西不等式,排序不等式,切比雪夫不等式,一元凸函数。复数及其指数形式、三角形式,欧拉公式,棣莫弗定理,单位根。多项式的除法定理、因式分解定理,多项式的相等,整系数多项式的有理根*,多项式的插值公式*。n次多项式根的个数,根与系数的关系,实系数多项式虚根成对定理。函数迭代,简单的函数方程*初等数论同余,欧几里得除法,裴蜀定理,完全剩余类,二次剩余,不定方程和方程组,高斯函数[x],费马小定理,格点及其性质,无穷递降法,欧拉定理*,孙子定理*。组合问题圆排列,有重复元素的排列与组合,组合恒等式。组合计数,组合几何。抽屉原理。容斥原理。极端原理。图论问题。集合的划分。覆盖。平面凸集、凸包及应用*。注:有*号的内容加试中暂不考,但在冬令营中可能考。三、高中数学竞赛基础知识第一章集合与简易逻辑一、基础知识定义1一般地,一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合,简称集,用大写字母来表示;集合中的各个对象称为元素,用小写字母来表示,元素x在集合A中,称x属于A,+记为xA,否则称x不属于A,记作xA。例如,通常用N,Z,Q,B,Q分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集,不含任何元素的集合称为空集,用来表示。集合分有限集和无限集两种。集合的表示方法有列举法:将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法,如{1,2,3};描述法:将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如{有理数},{xx0}分别表示有理数集和正实数集。定义2子集:对于两个集合A与B,如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素,则A叫做B的子集,记为AB,例如NZ。规定空集是任何集合的子集,如果A是B的子集,B也是A的子集,则称A与B相等。如果A是B的子集,而且B中存在元素不属于A,则A叫B的真子集。定义3交集,AB{xxA且xB}.定义4并集,AB{xxA或xB}.定义5补集,若A,则1A{xxI,且xA}称为A在I中的补集。IC定义6差集,AB{xxA,且xB}。定义7集合{xaxb,xR,ab}记作开区间(a,b),集合{xaxb,xR,ab}记作闭区间[a,b],R记作(,).定理1集合的性质:对任意集合A,B,C,有:(1)A(BC)(AB)(AC);(2)A(BC)(AB)(AC);(3)();C1ACBCAB(4)C1AC1BC1(AB).11【证明】这里仅证(1)、(3),其余由读者自己完成。(1)若xA(BC),则xA,且xB或xC,所以x(AB)或x(AC),即x(AB)(AC);反之,x(AB)(AC),则x(AB)或x(AC),即xA且xB或xC,即xA且x(BC),即xA(BC).(3)若xC1ACB,则xC1A或xC1B,所以xA或xB,所以x(AB),1又xI,所以()xC1AB,即C1AC1BC1(AB),反之也有C1(AB):做一件事有n类办法,第一类办法中有m种不同的方法,第二类办法1中有m种不同的方法,⋯,第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事一共有2Nm1m2m种不同的方法。n定理3乘法原理:做一件事分n个步骤,第一步有m种不同的方法,第二步有m2种不同1的方法,⋯,第n步有m种不同的方法,那么完成这件事一共有Nm1m2mn种不n同的方法。二、,检验元素是否属于集合。2yxyZ2例1设M{aax,,},求证:(1)2k1M,(kZ);(2)4k2M,(kZ);(3)若pM,qM,则pqM.[证明](1)因为k,k1Z,且2(1)22k1kk,所以2k1M.(2)假设4k2M(kZ),则存在x,yZ,使224k2xy,由于xy和xy有相同的奇偶性,所以x2y2(xy)(xy)是奇数或4的倍数,不可能等于4k2,假设不成立,所以4k2M.(3)设px2y2,qa2b2,x,y,a,bZ,