高中数学竞赛讲义.doc

数学竞赛讲义目录第一章集合,,,,,,,,,,,,,,,,2第二章函数,,,,,,,,,,,,,,,,15§,,,,,,,,,15§,,,,,,,,,21§,,,,,,,,,28§,,,,,,,,,32第三章数列,,,,,,,,,,,,,,,,37§,,,,,,,,37§,,,,,,44§,,,,,,,,,,,,48第四章三角平面向量复数,,,,,,,,,51第五章直线、圆、圆锥曲线,,,,,,,,,60第六章空间向量简单几何体,,,,,,,,,68第七章二项式定理与多项式,,,,,,,,,75第八章联赛二试选讲,,,,,,,,,82§、名题与竞赛题,,82§,,,,,,,,,99§,,,,,,,,,103第一章集合集合是高中数学中最原始、最基础的概念,也是高中数学的起始单元,:集合思想、集合语言和集合的符号在高中数学的很多章节如函数、数列、方程与不等式、,,也是支撑现代数学大厦的基石之一,本章主要介绍集合思想在数学竞赛中出现的问题.§【基础知识】:具有某些共同属性的对象的全体,:确定性、互异性、:无限集、有限集、:、并集、补集和差集差集:记A、B是两个集合,{xA且xB}.集合的运算性质(1)AAA,AAA(幂等律);(2)ABBA,ABBA(交换律);(3)(AB)CA(BC),(AB)CA(BC)(结合律);(4)A(BC)(AB)(AC),A(BC)(AB)(AC)(分配律);(5)A(BA)A,A(AB)A(吸收律);(6)CU(CUA)A(对合律);(7)CU(AB)(CUA)(CUB),CU(AB)(CUA)(CUB)(摩根律)(8)A(BC)(AB)(AC),A(BC)(AB)(AC).集合的相等(1)两个集合中元素相同,即两个集合中各元素对应相等;(2)利用定义,证明两个集合互为子集;(3)若用描述法表示集合,则两个集合的属性能够相互推出(互为充要条件),即等价;(4)对于有限个元素的集合,则元素个数相等、各元素的和相等、各元素之积相等是两集合相等的必要条件.【典例精析】【例1】在集合{1,2,,n}中,任意取出一个子集,.〖分析〗已知{1,2,,n}{1,2,,n},显然{1,2,,n}中包含i的子集与集合{1,2,,i1,i1,,n}{1,2,,n}的所有子集中一共出现nn次,即对所有的i求和,可得21().1n2Snii1【解】集合{1,2,,n}的所有子集的元素之和为n21n(nn1(12n)221)n1=n(n1)2.〖说明〗本题的关键在于得出{1,2,,n}中包含i的子集与集合{1,2,,i1,i1,,n}【例2】已知集合A{x|x320},{|430}且AB,〖分析〗首先确定集合A、B,再利用AB的关系进行分类讨论.【解】由已知易求得A{x|2x1},B{x|(xa)(x3a)0}当a0时,B{x|ax3a},由AB知无解;当a0时,B,显然无解;2当a0时,B{x|3axa},,参数a的取值范围是][1,.3〖说明〗本题中,集合的定义是一个二次三项式,那么寻于集合B要分类讨论使其取值范围数字化,【例3】已知xR,yR,集合A{x1,,1},{,,1}.若AB,2则2y2x的值是()【解】(x1)0,xx1x2x,且x10及集合中元素的互异性知2,即x1,,从而在集合B中,,得x2xxx11yy2y1(1)(2)(3)由(2)(3)解得x1,y2,代入(1)式知x1,y2也满足(1)〖说明〗本题主要考查集合相等的的概念,如果两个集合中的元素个数相等,