因式分解地应用——初中数学竞赛讲义.doc

因式分解的应用一、利用因式分解判断整除性例12n-1和2n+1表示两个连续的奇数(n是整数),(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n·2=8n∴-3xyz能被(x+y+z)整除.+y+z证明因式分解,得原式即222-xy-yz-zx),(x+y+z)(x+y+z∴x3+y3+z3-3xyz能被(x+y+z)-y为3的倍数,求证:4x2+7xy-∵4x+7xy-2y=(4x-y)(x+2y),又∵x+2y=4x-y-3x+3y=(4x-y)-3(x-y).∴原式=(4x-y)[(4x-y)-3(x-y)]2=(4x-y)-3(4x-y)(x-y)∵4x-y为3的倍数22能被9整除∴4x+7xy-2y例4设实数a<b<c<d,如果x=(a+b)(c+d),y=(a+c)(b+d),z=(a+d)(b+c,那么x、y、z的大小关系为()<y<<z<<x<:∵a<b<c<d,∴x-y=(a+b)(c+d)-(a+c)(b+d)=ac+bd-ab-cd=(a-d)(c-b)<0,即;x<y。同理y-z=(a-b)(d-c)<0,即y<z。1∴x<y<z,选A。说明:因式分解能使x-y和y-x两个差式显示出正负性质,达到可比较的目的。二、因式分解解计算题例5计算下列各题:(1)++(2)解:(1)适当变形之后,提取公因式:原式=++=(23+59+18)==314(2)原式=说明:上述这些计算,巧妙应用了因式分解,使运算过程显得灵活、简捷。例6积的整数部分为():这道题,要求99个括号里的数值的乘积,当然不能用常规方法去实乘。观察其特点:每个分母是相邻奇数或偶数的积,记为n(n+2);每个括号的分子相加又都是n(n+2)+1=(n+1)2,于是,设所求式子之积为S,则有1<S<2,应选A。说明:这时用了因式分解,使隐含的数量关系明显化。三、利用因式分解化简求值例7已知ac+bd=0,则ab(c2+d2)+cd(a2+b2)的值等于___________。2222解:原式=(abc+a+bcd)+(abdcd)2=ac(bc+ad)+bd(ad+bc)=(ad+bc)(ac+bd)=(ad+bc)30=0说明:利用因式分解,先化简代数式,上述的求值题变得十容易了。例8已知a-b=3,a-c=326,求(c—b)[(a-b)22+(a-c)(a-b)+(a-c)]的值分析:所求的代数式中含有c-b,可以通过已知的a-b=3与a-c=326来推得c-b解:由已知得c-b=3-326所以原式=(3-326)[23263(326)23]=2(326)33=27-26=1四、利用因式分解解方程222+4x)-2(x+4x)-15=0例9解方程(x解:将原方程左边分解因式,可得2+4x+3)(x2+4x-5)=0x(x+1)(x+3)(x-1)(x+5)=0由此得x+1=0或x+3=0,或x-1=0,或x+5=0原方程的解是x