初等数学研究(程晓亮、刘影)版课后习题标准答案.doc

初等数学研究(程晓亮、刘影)版课后****题答案————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期: 初等数学研究(程晓亮、刘影)版课后****题答案第一章数1添加元素法和构造法,自然数扩充到整数可以看成是在自然数的基础上添加0到扩大的自然数集,再添加负数到整数集;实数扩充到复数可以看成是在实数的基础上构造虚数单位满足,(略)3从数的起源至今,总共经历了五次扩充:为了保证在自然数集中除法的封闭性,像的方程有解,这样,正分数就应运而生了,这是数的概念的第一次扩展,,印度数学家开始用符号“0”,自然数、,,这是数的概念的第三次扩充,此时,,才由皮亚诺、戴德金、,,,引进虚数,:设集合两两没有公共元素分别是非空有限集的基数,根据定义,若,则存在非空有限集,使得;若从而必存在非空有限集,使得,所以所以集合的基数大于集合的基数,(1)解:按照自然数序数理论加法定义,(2)解:按照自然数序数理论乘法定义6证明:当时,命题成立.(反证法)7证明:当时,命题成立.():(1)完全用3角的邮票来支付;(2)(1)下,(2)下,、,:(1)(2)当时,,,,第条直线与原条直线各有一个交点,,、,:正整数集N上定义的整除关系“|”:(1)(自反性)任意的正整数,总有;(2)(反对称性)如果,那么;(3)(传递性)如果,,:设,且①②若,,则是的非空子集,按照最小数原理,中有最小数,①知,于是存在自然数,使,这样就有,所以,但根据②有,:(1)根据自然数减法定义有,,两式相加得:,于是,若,则若,则(2)(3)先证事实上,,为了证明(3),只要证明,根据(1)上式就是于是只要证明显然,这个等式是成立的,所以(3):(1)根据自然数除法定义有,两式相乘,得,所以有:若,则;若,则(2),根据除法定义,(2)成立.(3),根据除法定义,(3):.14证明:设,下,下面证明三种关系有且仅有一个成立.(1),若令同时成立,则存在,使得:于是,,任意两种关系均不能同时成立.(2),设是使三个关系中至少有一个成立的所有的集合,当时,若,则成立;若,则存在,使得,,,存在,使得,则,,存在,使得,若,就有;若,就有,且,使得,,,:,,16证明:因为,且,,所以,即17证明:因为,而有限个奇数的乘积仍是奇数,奇数个奇数的和也是奇数,因而是奇数,于是,同理有,两式相加:,:因为,,可验证质数,则若为偶数,可验证质数,:根据减法是加法的逆运算知,设是有理数,是这样一个数,,我们有(加法结合律) 因此,这个确定的有理数,它与的和等于, 又如果差为,则有,于是,两边同加有:即差只能是,:做差,,.所以有21证明:首先证明当且仅当.   事实上,若,当时,且,即;当时,,有,且,,若,当时,;当时,.   下面来证明:.事实上,对于显然有:    故有.   由上面的讨论知,.   另一方面,.   :(反证法)设其中是正整数,不妨假定互素,取自然数,用乘下列级数表达式两边:,得:令,于是,则应为正整数,,故,即不可能是整数,产生矛盾,:假设两边