平面几何辅助线添加技法总结与例题详解.doc

平面几何辅助线添加技法总结与例题详解第一讲注意添加平行线证题在同一平面内,,,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、,,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,、Q为线段BC上两点,且BP=CQ,A为BC外一动点(如图1).当点A运动到使∠BAP=∠CAQ时,△ABC是什么三角形?:当点A运动到使∠BAP=∠CAQ时,△:如图1,分别过点P、B作AC、△DBP=∠AQC中,显然∠DBP=∠AQC,∠DPB=∠=CQ,可知△DBP≌△=AC,∠BDP=∠,DA∥BP,∠BAP=∠、D、B、P四点共圆,==,通过作平行线,将∠QAC“平推”到∠、D、B、P四点共圆,,四边形ABCD为平行四边形,∠BAF=∠:∠EBA=∠:如图2,分别过点A、B作ED、EC的平行线,得交点P,,易知△PBA≌△=ED,PB=,四边形PBCE、∠BCE=∠BPE,∠APE=∠∠BAF=∠BCE,可知∠BAF=∠、B、A、,∠EBA=∠,∠EBA=∠,通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过P、B、A、E四点共圆,紧密联系起来.∠APE成为∠EBA与∠ADE相等的媒介,“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条,常可通过添加平行线,将某些线段“送”到恰当位置,△ABC中,BD、CE为角平分线,、AB、BC的垂线,M、N、:PM+PN=:如图3,过点P作AB的平行线交BD于F,过点F作BC的平行线分别交PQ、AC于K、G,∠ABC,可知点F到AB、=,==,可知PG∥∠BCA,知GP平分∠=,PM+PN=PK+KQ=,通过添加平行线,将PQ“掐开”成两段,证得PM=PK,就有PM+PN=“平行于三角形一边的直线截其它两边,所得对应线段成比例”,在一些问题中,可以通过添加平行线,、M2是△ABC的BC边上的点,且BM1=、AC、AM1、AM2于P、Q、N1、:+=+.证明:如图4,若PQ∥BC,,=CM2,可知BE+CE=M1E+M2E,易知=,=,=,=.则+===+.所以,+=+.这里,仅仅添加了一条平行线,将求证式中的四个线段比“通分”,使公分母为DE,△ABC的高线,K为AD上一点,BK交AC于E,:∠FDA=∠:如图5,过点A作BC的平行线,分别交直线DE、DF、BE、CF于Q、P、N、,==.有BD·AM=DC·AN.(1)由==,有AP=.(2)由==,有AQ=.(3)对比(1)、(2)、(3)有AP=,故AD平分∠,∠FDA=∠,原题并未涉及线段比,添加BC的平行线,就有大量的比例式产生,恰当地运用这些比例式,,应注意到平行线等分线段定理,△ABC中,AD是BC边上的中线,点M在AB边上,点N在AC边上,并且∠MDN=90°.2=DM2+DN2,求证:AD2=(AB2+AC2).证明:如图6,=DC,可知ED=△BED≌△,BE=,=+BE2=BM2+NC2=MD2+DN2=MN2=EM2,可知△BEM为直角三角形,∠MBE=90°.有∠ABC+∠ACB=∠