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03平面向量.doc平面向量讲义知识框架:概念(向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量、反向量)运算(加减、点乘)定理(平面向量基本定理、向量共线基本定理、三点共线定理)坐标运算集合中的应用(三角形的五心)向量有关概念向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示,注意不能说向量就是有向线段,为什么?(向量可以平移)。已知A(1,2),B(4,2),则把向量按向量=(-1,3)平移后得到的向量是_____零向量:长度为0的向量叫零向量,记作:,注意零向量的方向是任意的(与任意向量相平行);单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是);相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性;平行向量(也叫共线向量):方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量,记作:∥,规定零向量和任何向量平行。提醒:①相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等;②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合;③平行向量无传递性!(因为有);④三点共线共线;相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是-。下列命题:(1)若,则。(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同。(3)若,则是平行四边形。(4)若是平行四边形,则。(5)若,则。(6)若,则。其中正确的是_______向量的表示方法几何表示法:用带箭头的有向线段表示,如,注意起点在前,终点在后;符号表示法:用一个小写的英文字母来表示,如,,等;坐标表示法:在平面内建立直角坐标系,以与轴、轴方向相同的两个单位向量,为基底,则平面内的任一向量可表示为,称为向量的坐标,=叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。平面向量的基本定理如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量a,有且只有一对实数、,使a=e1+e2。例题:(1)若,则______(2)下列向量组中,能作为平面内所有向量基底的是 .(3)已知分别是的边上的中线,且,则可用向量表示为_____(4)已知中,点在边上,且,,则的值是___实数与向量的积实数与向量的积是一个向量,记作,它的长度和方向规定如下::当>0时,的方向与的方向相同当<0时,的方向与的方向相反当=0时,,注意:≠0。(注意向量与标量的区别)平面向量的数量积两个向量的夹角:对于非零向量,,作,称为向量,的夹角:当=0时,,同向,当=时,,反向,当=时,,垂直。平面向量的数量积:如果两个非零向量,,它们的夹角为,我们把数量叫做与的数量积(或内积或点积),记作:,即=。规定:零向量与任一向量的数量积是0,注意数量积是一个实数,不再是一个向量。例题:(1)△ABC中,,,,则_________(2)已知,与的夹角为,则等于____(3)已知,则等于____(4)已知是两个非零向量,且,则的夹角为____在上的投影为,它是一个实数,但不一定大于0。已知,,且,则向量在向量上的投影为______的几何意义:数量积等于的模与在上的投影的积。向量数量积的性质:设两个非零向量,,其夹角为,则:①;②当,同向时,=,特别地,;当与反向时,=-;当为锐角时,>0,且不同向,是为锐角的必要非充分条件;当