中考数学几何旋转经典例题(同名21669).doc

中考数学几何旋转经典例题(同名21669)中考数学几何旋转综合题1.(2009年山东德州)23.(本题满分10分)已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.(1)求证:EG=CG;(2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º,如图②所示,取DF中点G,连接EG,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,①(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论?(均不要求证明)FBADCEG第23题图②FBACE第23题图③D解:(1)证明:在Rt△FCD中,∵G为DF的中点,∴CG=FD.…………1分同理,在Rt△DEF中,EG=FD.………………2分∴CG=EG.…………………3分(2)(1)中结论仍然成立,即EG=CG.…………………………4分证法一:连接AG,过G点作MN⊥AD于M,与EF的延长线交于N点.[来源:学#科#网Z#X#X#K]FBADCEGMNN图②(一)在△DAG与△DCG中,∵AD=CD,∠ADG=∠CDG,DG=DG,∴△DAG≌△DCG.∴AG=CG.………………………5分在△DMG与△FNG中,∵∠DGM=∠FGN,FG=DG,∠MDG=∠NFG,∴△DMG≌△FNG.∴MG=NG在矩形AENM中,AM=EN.……………6分在Rt△AMG与Rt△ENG中,∵AM=EN,MG=NG,∴△AMG≌△ENG.∴AG=②(二)∴EG=CG.……………………………8分证法二:延长CG至M,使MG=CG,连接MF,ME,EC,……………………4分在△DCG与△FMG中,∵FG=DG,∠MGF=∠CGD,MG=CG,∴△DCG≌△FMG.∴MF=CD,∠FMG=∠DCG.∴MF∥CD∥AB.………………………5分∴.在Rt△MFE与Rt△CBE中,∵MF=CB,EF=BE,∴△MFE≌△CBE.∴.…………………………………………………6分FBADCE图③G∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°.…………7分∴△MEC为直角三角形.∵MG=CG,∴EG=MC.∴.………………………………8分(3)(1)中的结论仍然成立,即EG=:EG⊥CG.……10分2.(2009山西)在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°,将△ABC绕点B顺时针旋转角a(0°<a<90°)得△A1BC1,A1B交AC于点E,A1C1分别交AC,BC于D,F两点.(1)如图22-4(a),观察并猜想,在旋转过程中,线段EA1与FC是怎样的数量关系?并证明你的结论;图23-4(a)(2)如图23-4(b),当a=30°时,试判断四边形BC1DA的形状,并说明理由;图23-4(b)(3)在(2)的情况下,(1)证明:∵AB=BC,∴∠A=∠,AB=BC1,∠A=∠C1,∠ABE=∠C1BF.∴△ABE≌△C1BF.∴BE=∵BA1=BC,∴BA1-BE=BC-BF,即EA1=FC.(2):∵∠A1=∠ABA1=30°,∴A1C1∥AB,同理AC∥BC1.∴∵AB=BC1,∴四边形BC1DA是菱形.(3)如图23-4(c),过点E作EG⊥AB于点G,则AG=BG=-4(c)在Rt△AEG中,由(2)知四边形BC1DA是菱形,∴AD=AB=-5(a),在Rt△ABC中,∠BAC=90°,,D,E两点分别在AC,BC上,且DE∥AB,,将△CDE绕点C顺时针旋转,得到△CD′E′(如图23-5(b),点D′,E′分别与点D,E对应),点E′在AB上,D′E′-5(1)求∠ACE′的度数;(2)求证:四边形ABCD′是梯形;(3)求△AD′,以及图中隐含的45°、30°等特殊角,将△AD′M的面积转化为S△AD′E′-S△AME′,(1)如图23-5(a),∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠B=∠ACB=45°.∵DE∥AB,∴∠DEC=∠DCE=45°,∠EDC=90°.∴CE=CE′=-5(b),在Rt△ACE′中,∠E′AC=90°,,CE′=4,∴∠ACE′=30°.(2)如图23-5(b),∵∠D′CE′=∠ACB=45°,∠ACE′=30°,∴∠D′CA=∠E′CB=15°.又,∴△D′CA∽△E′CB.∴∠D′AC=∠B=45°.∴∠ACB=∠D′AC.