主成分与主因子.doc

主成分分析通过线性组合将原变量综合成几个主成分,用较少的综合指标来代替原来较多的指标(变量)。在多变量分析中,某些变量间往往存在相关性。是什么原因使变量间有关联呢?是否存在不能直接观测到的、但影响可观测变量变化的公共因子?因子分析法(FactorAnalysis)就是寻找这些公共因子的模型分析方法,它是在主成分的基础上构筑若干意义较为明确的公因子,以它们为框架分解原变量,以此考察原变量间的联系与区别。可以说,因子分析是主成分分析的推广,也是一种把多个变量化为少数几个综合变量的多变量分析方法,其目的是用有限个不可观测的隐变量来解释原始变量之间的相关关系。因子分析主要用于:1、减少分析变量个数;2、通过对变量间相关关系探测,将原始变量进行分类。即将相关性高的变量分为一组,用共性因子代替该组变量。,把一些具有错综复杂关系的变量归结为少数几个综合因子的一种多变量统计分析方法。它的基本思想是将观测变量进行分类,将相关性较高,即联系比较紧密的分在同一类中,而不同类变量之间的相关性则较低,那么每一类变量实际上就代表了一个基本结构,即公共因子。对于所研究的问题就是试图用最少个数的不可测的所谓公共因子的线性函数与特殊因子之和来描述原来观测的每一分量。因子分析模型描述如下:⑴X=(x1,x2,…,xp)￠是可观测随机向量,均值向量E(X)=0,协方差阵Cov(X)=∑,且协方差阵∑与相关矩阵R相等(只要将变量标准化即可实现)。⑵F=(F1,F2,…,Fm)￠(m<p)是不可测的向量,其均值向量E(F)=0,协方差矩阵Cov(F)=I,即向量的各分量是相互独立的。⑶e=(e1,e2,…,ep)￠与F相互独立,且E(e)=0,e的协方差阵∑是对角阵,即各分量e之间是相互独立的,则模型:x1=a11F1+a12F2+…+a1mFm+e1x2=a21F1+a22F2+…+a2mFm+e2………xp=ap1F1+ap2F2+…+apmFm+ep称为因子分析模型,由于该模型是针对变量进行的,各因子又是正交的,所以也称为R型正交因子模型。,F2,…,Fm叫做主因子或公共因子,它们是在各个原观测变量的表达式中都共同出现的因子,是相互独立的不可观测的理论变量。公共因子的含义,必须结合具体问题的实际意义而定。e1,e2,…,ep叫做特殊因子,是向量x的分量xi(i=1,2,…,p)所特有的因子,各特殊因子之间以及特殊因子与所有公共因子之间都是相互独立的。模型中载荷矩阵A中的元素(aij)是为因子载荷。因子载荷aij是xi与Fj的协方差,也是xi与Fj的相关系数,它表示xi依赖Fj的程度。可将aij看作第i个变量在第j公共因子上的权,aij的绝对值越大(|aij|￡1),表明xi与Fj的相依程度越大,或称公共因子Fj对于xi的载荷量越大。为了得到因子分析结果的经济解释,因子载荷矩阵A中有两个统计量十分重要,即变量共同度和公共因子的方差贡献。因子载荷矩阵A中第i行元素之平方和记为hi2,称为变量xi的共同度。它是全部公共因子对xi的方差所做出的贡献,反映了全部公共因子对变量xi的影响。hi2大表明x的第i个分量xi对于F的每一分量F1,F2,…,Fm的共同依赖程度大。将因子载荷矩阵A的第j列(j=1,2,…