正多面体与平面展开图.doc

正多面体与平面展开图ByLaurinda..开始总结,网络搜集正四面体正六面体正八面体正十二面体正二十面体正四面体正六面体正八面体正十二面体正二十面体正方体展开图相对的两个面涂上相同颜色,正方体平面展开图共有以下11种。                                  邻校比我们学校早了几天举行段考,拿他们的数学卷子提供给学生充做模拟考,其中有一题作图题,不好做,它要求将右图,一个由正方形和等腰直角三角形组成的五边形,以两条线切割,重组成一个等面积的等腰直角三角形。这题让学生和我「奋战」了几节课,却总是画不成。理论上它是可以成立的,因为等腰直角三角形可以和一个正方形等面积,而且由商高定理可以知道,存在一个正方形A,它的面积等于任意两个正方形B、C的面积和。只要A的边长是这两个正方形B、C的边长平方和的正平方根即可。而正方形当然可以等积于一个等腰直角三角形。但是如何以两条直线完成这道题呢?今天(5/19),我利用周休继续思考这道题,终于完成了,做法如左。多面体之Euler's公式(V-E+F=2)V=顶点数(numberofvertices);E=边数(numberofedges);F=面数(numberoffaces)正四面体(Tetrahedron)     V=4,E=6,F=4,4-6+4=2 正六面体(Cube)V=8,E=12,F=6,8-12+6=2正八面体(Octahedron)V=6,E=12,F=8, 6-12+8=2 正十二面体(Dodecahedron)V=20,E=30,F=12,20-30+12=2 正二十面体(Icosahedron)V=12,E=30,F=20,12-30+20=2BuckyballV=60,E=90,F=32(12pentagons+20hexagons),60-90+32=2补充说明:;或者假设每一顶点聚集有m条线,每一条线是正n边形的一边,则因为每一正n边形的一个内角为180(n-2)/2度,围绕此顶点的m个角的和小于360度,否则此顶点附近便变成一个平面,所以m[180(n-2)/n]<360,同样可以导出(m-2)(n-2)<(icosahedron),例如:疱疹(herpes)病毒,水痘(chickenpox)病毒,人体疣(humanwart)病毒,犬类传染性肝炎病毒,腺病毒(adenovirus),叫作"准正多面体".标尺作图正多边形正三、六边形正四、八边形   正五边形直尺、圆规和量角器可以画出任意正多边形。但是在古希腊时,作图只使用没有刻度的直尺(unmarkedruler)pass)。用标尺作正偶边形如2n,3×2n,5×2n等正多边形并非难事。但对正奇边形如3,5,7,9,11,13,15等的作图,在当时是件困难的事,而且并非全都可以作图成功。1798年,德国数学家高斯只有19岁,他成功的以圆规直尺做出一个正十七边形,并证明了正奇边形的边数只有是费马质数或不同的费马质数乘积才可以标尺作图出来(费马质数是质数且型如,k是非负正整数)。当高斯去世后,人们为了纪念这位伟大的数学家,在他的故乡(Brunschweig)的纪念碑上刻了这个正17边形。k012345351725765537当k=0,1,2,3,4,5时都是质数,但一般猜测k>5时,都不是质数。由于我们目前知道只有五个费马质数存在,所以用圆规可以做出的正奇边形是3,5,17,257,65537,以及这五个数的两两相乘积。如3×5,3×17,17×257等共31个。而最大的正奇边形的边数是是。边数小于100,可以标尺作图的正多边形如下:3456810121516172024303234404851606468808596正三边形和正六边形取适当长为半径画圆,以同半径在圆周上取弧,再连续可取二个等弧,连接端点,可以连得正三边形。(下图,红色部分)。如果取三个等弧的中点,可以连成正六边形(下图,绿色部分)。↑正四边形和正八边形取适当长为半径画圆,画二条互相垂直的直径,连接端点,可以连得正四边形(下图,紫色部分)。如果取四个等弧的中点,可以连成正八边形(下图,红色部分)。↑正五边形画一圆C。作直径AB。取BC中点D。过C点作AB的垂直线交圆C于P点。以D点为圆心,DP为半径画弧交AB于E点。以P点为圆心,PE为半径画弧交圆于一点。再连续可取四个等弧,连接端点,就可以做出正五边形。说明:如果圆半径是r,圆内接正五边形的边长是a。则a2=r2+r2-2×r×r×cos72°=2r2(1-)=r2,因此a=r。证明:CP=r,CD=,因此PD=r。而CE=r,所以PE=×r=r。雪花圣诞节又来临了,昌