抛物线及其性质知识点大全与经典例题及解析.doc

抛物线及其性质【考纲说明】1、掌握抛物线的简单几何性质,能运用性质解决与抛物线有关问题。 2、通过类比,找出抛物线与椭圆,双曲线的性质之间的区别与联系。【知识梳理】::图形参数p几何意义参数p表示焦点到准线的距离,p越大,(0,0)离心率通径2p焦半径焦点弦长焦点弦长的补充以为直径的圆必与准线相切若的倾斜角为,若的倾斜角为,:(1)范围因为p>0,由方程可知x≥0,所以抛物线在轴的右侧,当的值增大时,||也增大,说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.(2)对称性:对称轴要看一次项,符号决定开口方向.(3)顶点(0,0),离心率:,焦点,准线,焦准距p.(4)焦点弦:抛物线的焦点弦,,,|AB|=x1+x2+p,当x1=x2时,通径最短为2p。:焦点弦,,,焦点(1)若AB是抛物线的焦点弦(过焦点的弦),且,,则:,。(2)若AB是抛物线的焦点弦,且直线AB的倾斜角为α,则(α≠0)。(3)已知直线AB是过抛物线焦点F,(4)焦点弦中通径最短长为2p。通径:过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径.(5)两个相切:,以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。:,是抛物线上两点,则【经典例题】(1)抛物线——二次曲线的和谐线椭圆与双曲线都有两种定义方法,可抛物线只有一种:=1,这使它既与椭圆、双曲线相依相伴,,既使它享尽和谐之美,又生出多少华丽的篇章.【例1】P为抛物线上任一点,F为焦点,则以PF为直径的圆与y轴()相交相切相离位置由P确定【解析】如图,抛物线的焦点为,⊥于H,交y轴于Q,那么,⊥y轴于N则MN是梯形PQOF的中位线,.故以PF为直径的圆与y轴相切,选B.【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说,其结论则分别是相离或相交的.(2)焦点弦——常考常新的亮点弦有关抛物线的试题,,对破解这些试题是大有帮助的.【例2】过抛物线的焦点F作直线交抛物线于两点,求证:(1)(2)【证明】(1)如图设抛物线的准线为,作,.两式相加即得:(2)当AB⊥x轴时,有成立;当AB与x轴不垂直时,设焦点弦AB的方程为:.代入抛物线方程:.化简得:∵方程(1)之二根为x1,x2,∴..故不论弦AB与x轴是否垂直,恒有成立.(3)切线——抛物线与函数有缘有关抛物线的许多试题,,是解题者不可或缺的基本功.【例3】证明:过抛物线上一点M(x0,y0)的切线方程是:y0y=p(x+x0)【证明】对方程两边取导数:.由点斜式方程:y0y=p(x+x0)(4)定点与定值——抛物线埋在深处的宝藏抛物线中存在许多不不易发现,,:,且动圆恒与直线相切