平面几何的几个重要的定理--梅涅劳斯定理.doc

平面几何的几个重要的定理一、梅涅劳斯定理:注:此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件;注:此定理常用于证明三点共线的问题,且常需要多次使用再相乘;CBA平面几何的几个重要定理――――塞瓦定理塞瓦定理:CBAMQRACPBCBACBAKLNMCBA平面几何的几个重要定理--托勒密定理托勒密定理:圆内接四边形中,两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和).即:EDCBA一、直接应用托勒密定理例1如图2,P是正△ABC外接圆的劣弧上任一点(不与B、C重合),求证:PA=PB+:此题证法甚多,一般是截长、补短,构造全等三角形,,则有PA·BC=PB·AC+PC·AB,∵AB=BC=AC. ∴PA=PB+、完善图形借助托勒密定理例2证明“勾股定理”:在Rt△ABC中,∠B=90°,求证:AC2=AB2+BC2证明:如图,作以Rt△ABC的斜边AC为一对角线的矩形ABCD,,有AC·BD=AB·CD+AD·BC.①又∵ABCD是矩形,∴AB=CD,AD=BC,AC=BD.②把②代人①,得AC2=AB2+,在△ABC中,∠A的平分线交外接∠圆于D,连结BD,求证:AD·BC=BD(AB+AC).证明:连结CD,依托勒密定理,有AD·BC=AB·CD+AC·BD.∵∠1=∠2,∴BD=·BC=AB·BD+AC·BD=BD(AB+AC).三、构造图形借助托勒密定理例4若a、b、x、y是实数,且a2+b2=1,x2+y2=:ax+by≤:如图作直径AB=1的圆,在AB两边任作Rt△ACB和Rt△ADB,使AC=a,BC=b,BD=x,AD=、b、x、y是满足题设条件的. 据托勒密定理,有AC·BD+BC·AD=AB·CD. ∵CD≤AB=1,∴ax+by≤、巧变原式妙构图形,借助托勒密定理例5已知a、b、c是△ABC的三边,且a2=b(b+c),求证:∠A=2∠:将a2=b(b+c)变形为a·a=b·b+bc,从而联想到托勒密定理,进而构造一个等腰梯形,使两腰为b,两对角线为a,:如图,作△ABC的外接圆,以A为圆心,BC为半径作弧交圆于D,连结BD、DC、DA.∵AD=BC,