数学基础班讲义二：一元函数微分学.doc

NJ钻石卡数学讲义二第二章 一元函数微分学(约数一19%/二29%/三24%)【考点】导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数求导法则高阶导数微分隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达(L’Hospital)法则函数单调性的判别 函数的极值函数的最大值和最小值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径(定积分几何应用-微元法、元素法再讲)一、导数概念1、导数定义:设函数在的某个邻域内有定义,当自变量在处取得增量(点仍在该邻域内)时,相应的取得函数增量;如果与之比当时极限存在,则称函数在处可导,并称这个极限为函数在处的导数,记为,即也记作或注:上式有几种等价形式,如取,,,等和特殊情况当时取,这在讨论分段函数的导数时经常使用,如:当时,注:利用定义求导三步骤:算增量,求比值,取极限例1:利用导数定义得到一些简单函数的导数(导数基本公式),如:例2:证明:1)可导的周期函数其导函数仍为周期函数;2)可导的奇函数其导函数是偶函数,可导的偶函数其导函数是奇函数例3:1)已知在处可导,,求2)已知在处可导,且,求3)在处可导,,求在时关于的无穷小阶数例4:(11,3)已知函数在x=0处可导,且,则=()(A)2          (B)(C)            (D)0例5:1)已知在处可导,在的邻域内满足:,)在处可导,在的邻域内满足:,其中为时的高阶无穷小量,求在处的切线例6:设在的某个邻域内有定义,则在处可导的一个充分条件是( )(A)存在  (B)存在(C)存在  (D)存在2、单侧导数:右导数:;左导数:;特别左、右导数为和注:1)可导跟左右导数存在是什么关系?(充要条件:左右导数存在且相等)2)函数可导性与连续性的关系:函数在处可导,则在处一定连续;反之连续不一定可导。(利用函数极限跟无穷小的关系可得前一半命题;后一半命题举反例及等在处连续但不可导)例7:求在处的左右导数例8:(95)已知可导,,则是在处可导的:A)充要条件;B)充分不必要条件;C)必要不充分条件;D)既非充分也非必要条件3、导数几何意义:若函数在处可导,则导数值为函数图形在该点处的斜率:;切线方程:;法线方程:例9:1)求在处切线方程和法线方程2)(11,3)曲线在点处的切线(后话)二、函数的求导法则1、四则运算:如果及都在点具有导数,那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点具有导数,则:1);2)3)例10:1)求下列函数的导数(作为基本公式)2)求的导数3)求的导数思考:求的导数2、反函数的求导法则:如果函数在区间上单调、可导且,则它的反函数在区间内也可导,则:例11:1)求的导数(得基本公式)2)由的导数公式推导的导数3、复合函数的求导法则:如果在点可导,而在点处可导,则复合函数在点可导,且其导数为或注1:;