§2初等数论--整除.ppt

数论是竞赛数学中最重要的一部分,特别是在1991年,IMO在中国举行,国际上戏称那一年为数论年,因为6道IMO试题中有5道与数论有关。数论的魅力在于它可以适合小孩到老头,只要有算术基础的人均可以研究数论――在前几年还盛传广东的一位农民数学爱好者证明了哥德巴赫猜想,当然,这一谣言最终被澄清了。可是这也说明了最难的数论问题,适合于任何人去研究。初等数论最基础的理论在于整除,由它可以演化出许多数论定理。*阜阳师范学院数科院*第一章整数的可除性整除性理论是初等数论的基础,本章要介绍带余数除法,辗转相除法,最大公约数,最小公算术基本定理以及倍数,它们的一些应用。*阜阳师范学院数科院*中小学数学中的一些数论问题::782+8161能被57整除,求证:783+8163也能被57整除。,求证:24∣n(n+2)(5n+1)(5n-1).︱X1998Y,,得到一个仅由数字1组成的多位数,求这个自然数最小为多少?**,则它们的最大公约数的最大可能值是多少?证明你的结论。**§、整除的概念相关概念:因数、约数、倍数、奇数、偶数。注:显然每个非零整数a都有约数1,a,称这四个数为a的平凡约数,a的另外的约数称为非平凡约数。例1有一个自然数乘以9后,得到一个仅由数字1组成的多位数,求这个自然数最小为多少?12345679**二、整除的性质定理1〔传递性〕定理2定理3例2(1)已知:x和y是整数,13︱(9x+10y),求证:13︱(4x+3y);(2)若a,b是整数,且7∣(a+b),7∣(2a-b),证明:7|(5a+2b)。**三、带余数除法定理4设a与b是两个整数,b>0,则存在唯一的两个整数q和r,使得定义2:(1)式通常写成并称q为a被b除所得的不完全商;r叫做a被b除所得的余数;(2)式称为带余数除法。**证明:存在性:考虑整数序列则a必在序列的某两项之间(包括这两项),即存在一个整数q,使得唯一性:反证〔略〕定理4设a与b是两个整数,b>0,则存在唯一的两个整数q和r,使得**例3利用带余数除法,由a,b的值求q,,则要求思考正确吗?**证明:由带余除法有