高中数学知识要点重温（6）数列综合知识点分析.doc

高中数学知识要点重温(6):写出Sn的表达式,再“后退”一步(降标)得Sn-1的表达式,作差;得an的表达式。注意:n≥2的要求切不可疏忽!若Sn的表达式无法写出,亦可将an表示成Sn-Sn-1,得到一个关于Sn的递推关系后,进一步求解。[举例1]数列的前n项和=an+b,(a0,且a1),则数列成等比数列的充要条件是__________解析:降标得:=an-1+b,(n≥2),作差得:an=an-an-1=an-1(a-1),(n≥2)再“升标”得:an+1=an(a-1);∴,(n≥2),∴数列成等比数列的充要条件是:,即b=–1。[举例2]数列中,a1=1,Sn为数列{}的前n项和,n≥2时=3Sn,则Sn=。解析:思路一:同[举例1]得:an–an-1=3an(n≥3)(n≥3)∴数列从第二项开始成等比数列(注意:不是从第三项开始),又a2=3(a1+a2)得a2=,∴n≥2时=a2qn-2=()()n-2(这个地方极容易出错),即=∴Sn==,注意到n=1和n≥2可以统一,∴Sn=。(冗长烦琐,步步荆棘!)思路二:要求的不是而是Sn,可以考虑在=3Sn中用Sn-Sn-1代换(体现的是“消元”的思想,思路一是加减消元,消去Sn;思路二是代入消元,消去)得:Sn-Sn-1=3Sn,(n≥2),即,(n≥2),又S1=1,∴Sn=。[巩固1]数列{an}的前n项和,数列{bn}满足:.(Ⅰ)证明数列{an}为等比数列;(Ⅱ)求数列{bn}的前n项和Tn。[巩固2]等差数列的首项a1=1,公差d>0,且第二项、第五项、第十四项分别为等比数列的第二项、第三项、第四项求数列与的通项公式;设数列对任意整数n都有成立,求c1+c2+…+:+的递推数列,求通项时先“移项”得=后,再用叠加(消项)法;形如:的递推数列,求通项用连乘(约项)法;形如:an+1=qan+p(a1=a,p、q为常数)的递推数列求通项公式可以逐项递推出通项(在递推的过程中把握规律)或用待定系数法构造等比数列(公比为q);形如:(为常数)的递推数列求通项,先“取倒数”,可得数列{}是等差数列(公差为)。[举例]①已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+2n-1,则a10;解析:an+1-an=2n-1,分别取n=1,2,…9,叠加得:a10-a1=(2+22+…+29)-9=210-11a10=210-10.②若数列{an}满足a1=,(n≥2),则an=;解析:“取倒数”得:(n≥2),记数列{+}为等比数列,且公比为2,(为常数),则+=2(+)(n≥2),可见=-1,而-1=2∴-1=2n,=2n+1,an=。注:(ⅰ)有时能够看、猜、试出来,未必非要“待定系数”。(ⅱ)数列{+}为等比数列,其首项是+而不是a1,同样,通项是+而不是an,这是很容易出错的一个地方。(ⅲ)若递推关系变为an+1=qan+pn,则也相应变为pn,其他做法不变。③已知数列{an}满足:a1+2a2+3a3+…+nan=an+1且a2=2,则an。解析:“降标”得a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=an,(n≥2)作差得(n+1)an=an+1(n≥2)(n≥2)分别取n=2,3,…,n