解直角三角形知识点整理.doc

1一、锐角三角函数的定义:在RTABC?中,∠C=90°,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,则:sinAaAc∠==的对边斜边cosAbAc∠==的邻边斜边tanAaAAb∠==∠的对边的邻边cotAbAAa∠==∠的邻边的对边常用变形:sinacA=;sinacA=等,。二、锐角三角函数的有关性质:1、当0°<∠A<90°时,0sin1A<<;0cos1A<<;tan0A>;cot0A>2、在0°--90°之间,正弦、正切(sin、tan)的值,随角度的增大而增大;余弦、余切(cos、cot)的值,随角度的增大而减小。三、同角三角函数的关系:22sincos1AA+=tancot1AA=sintancosAAA=coscotsinAAA=常用变形:2sin1cosAA=-2cos1sinAA=-四、正弦与余弦,正切与余切的转换关系:如图1,由定义可得:sincoscos(90)aABAc===?-同理可得:sincos(90)AA=?-cossin(90)AA=?-tancot(90)AA=?-cottan(90AA=?-五、特殊角的三角函数值:三角函数sinαcosαtanαcotα30°123233345°22221160°3212333六、解直角三角形的基本类型及其解法总结:类型已知条件解法两边两直角边a、b22cab=+,tanaAb=,90BA∠=?-∠直角边a,斜边c22bca=-,sinaAc=,90BA∠=?-∠一边一锐角直角边a,锐角A90BA∠=?-∠,cotbaA=,sinacA=斜边c,锐角A90BA∠=?-∠,sinacA=,cosbcA=60°30°321BCA45°222BCA七、三角形的面积公式:已知ABC?中,∠A、∠B、∠C的对应边分别是a、b、c,如图2,过点A作AD⊥BC于点D。在RTABD?中,sinADBAB=,即:sinADABB=(sinADcB=)111sinsin222ABCSBCADacBacB?===(其中:∠B为a、c的夹角)同理可得:111sinsinsin222ABCSacBbcAabC?===(三角形的面积公式)由面积公式可得:11sinsin22acBbcA=两边同时除于12c得:sinsinsinsinabaBbAAB=?=同理可得,正弦公式:sinsinsinabcABC==八、余弦定理如图2:sinADbC=,DabC=-=-,在直角三角形ABD中,由勾股定理得:222222(sin)(cos)ABADBDcbCabC=+?=+-整理得:2222222222sin2coscos(sincos)aabC=+-+?++-2222coscbaabC?=+-整理得到余弦定理:2222coscababC=+-(∠C为a、b的夹角)同理可得:(余弦定理及其变形)2222cosabcbcA=+-222cos2bcaAbc+-=2222cosbacacB=+-222cos2acbBac+-=2222coscababC=+-ab+-=九、三角函数的高中定义:(图中的圆半径为单位1)如图3,sinyyrα==同理可得:cosxα=,tanyxα=,cotxyα=如图4,也可以得到相同的结论,但是此时要特别注意三角函数的符号所发生的变化,从而使三角函数摆脱仅限于锐角的尴尬境地。DABC十、三角函数与相似:如图5,可以利用相似进行求解,也可以利用三角函数进行求解:+==?=sinDEBCAAEAC==如图6,6tan48DEBCxAAEAB==?=备注:三角函数,在解决直角三角形的一些问题中,有时候会比相似书写更简洁一些十一、相似与直角三角形的射影定理: