数学专题-高中函数值域的求法集锦.doc

数学专题-高中函数值域的求法集锦专题一:求函数值域的常用方法及值域的应用高考要求函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一本节主要帮***生灵活掌握求值域的各种方法,(1)求函数的值域此类问题主要利用求函数值域的常用方法配方法、分离变量法、单调性法、图像法、换元法、不等式法等无论用什么方法求函数的值域,都必须考虑函数的定义域(2)函数的综合性题目此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点,并可以逐渐加强(3)运用函数的值域解决实际问题此类问题关键是把实际问题转化为函数问题,,:,当时的值域为,当时的值域为.,,余弦函数的值域为,正,(最值),:求函数的值域:解:设,则原函数可化为:.又因为,所以,故,,所以,,将所给函数转换成易求值域的函数,形如的函数,令;形如的函数,令;形如含的结构的函数,可利用三角代换,令,:求函数的值域:.解:,,用此法求函数值域时,要注意条件“一正,二定,三相等”.如利用求某些函数值域(或最值)时应满足三个条件①;②为定值;③:求函数的值域:.解:当且仅当时,即时等号成立,,(或某个定义域的子集)上的单调性求出函数的值域,例如,.当利用不等式法等号不能成立时,,可借助几何法求函数的值域,:求函数的值域:解:函数的值域为:.,可用表示出,再根据,解关于的不等式,,由可求得极值点坐标,若函数定义域为,:求函数的值域解:恒成立, 。当即时,;当即时,时,,要求画面面积为4840cm2,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的上、下各留8cm的空白,左右各留5cm空白,怎样确定画面的高与宽尺寸,才能使宣传画所用纸张面积最小?如果要求λ∈[],那么λ为何值时,能使宣传画所用纸张面积最小?命题意图本题主要考查建立函数关系式和求函数最小值问题,同时考查运用所学知识解决实际问题的能力知识依托主要依据函数概念、奇偶性和最小值等基础知识错解分析证明S(λ)在区间[]上的单调性容易出错,其次不易把应用问题转化为函数的最值问题来解决技巧与方法本题属于应用问题,关键是建立数学模型,并把问题转化为函数的最值问题来解决[来源:学科网]解设画面高为xcm,宽为λxcm,则λx2=4840,设纸张面积为Scm2,则S=(x+16)(λx+10)=λx2+(16λ+10)x+160,将x=代入上式得S=5000+44(8+),当8=,即λ=<1)时S取得最小值此时高x==88cm, 宽λx=×88=55cm[来源:学科网][来源:]如果λ∈[],可设≤λ1<λ2≤,则由S的表达式得[来源:学,科,网Z,X,X,K]又≥,故8->0,∴S(λ1)-S(λ2)<0,∴S(λ)在区间[]内单调递增从而对于λ∈[],当λ=时,S(λ)取得最小值答画面高为88cm,宽为55cm时,所用纸张面积最小如果要求λ∈[],当λ=时,所用纸张面积最小例2已知函数f(x)=,x∈[1,+∞(1)当a=时,求函数f(x)的最小值(2)若对任意x∈[1,+∞,f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围命题意图本题主要考查函数的最小值以及单调性问题,着重于学生的综合分析能力以及运算能力知识依托本题主要通过求f(x)的最值问题来求a的取值范围,体现了转化的思想与分类讨论的思想错解分析考生不易考虑把求a的取值范围的问题转化为函数的最值问题来解决技巧与方法解法一运用转化思想把f(x)>0转化为关于x的