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轨迹方程的求法
求轨迹方程的的基本方法:直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。
:如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系,这些条件简单明确,不需要特殊的技巧,易于表述成含x,y的等式,就得到轨迹方程,这种方法称之为直接法。也叫直译法;
例1、如图,圆与圆的半径都是1,,过动点分别作圆、圆的切线,使得。试建立适当的坐标系求动点的轨迹方程。
◎◎双曲线的两焦点分别是、,其中是抛物线的焦点,两点都在该双曲线上.
(1)求点的坐标; (2)求点的轨迹方程,并指出其轨迹表示的曲线.
评析:
1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点,列式,化简,证明五个步骤,最后的证明可以省略,但要注意“挖”与“补”。
2、求轨迹方程一般只要求出方程即可,求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。
:动点的轨迹符合某种已知几何曲线的定义,可知轨迹方程的形式,再利用待定系数法求出方程的相关系数,这种方法叫做定义法.
例2、已知中,所对应的边为,且成等差数列,,求顶点的轨迹方程。
◎◎一动圆与圆外切,同时与圆内切,求动圆圆心的轨迹方程,并说明它是什么样的曲线。
◎◎已知是直线上的三点,且,切直线于点,又过作异于的两切线,设这两切线交于点,求点的轨迹方程.
评析:定义法的关键是条件的转化——转化成某一已知曲线的定义条件。
:动点所满足的条件不易找出,但形成轨迹的动点跟随另一动点的运动而有规律的运动,且动点的轨迹为给定或容易求得,则可先将表示为的关系,再代入的轨迹方程,然后整理得的轨迹方程,这种求轨迹方程的法叫代入法。代入法也称相关点法(影子问题)。
例3、已知抛物线,定点。为抛物线上任意一点,点在线段上,且有,当点在抛物线上变动时,求点的轨迹方程.
◎◎为双曲线上一动点,是曲线的两个焦点,求的重心的轨迹方程。
评析:一般地,定比分点问题、对称问题或能转化为这两类的轨迹问题,都可用相关点法。
四、参数法:求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、(参数),使之间建立起联系: (为参数),则已得动点的参数方程。若消去参数,则得轨迹的普通方程方程。注意:参数既可最后消,也可在中间过程中消去。
例4、设点和为抛物线上除原点以外的两个动点,已知,求点的轨迹方程,并说明它表示什么曲线。
◎◎过点,斜率为的直线与抛物线交于两点。若曲线的焦点与三点按如图顺序构成平行四边形,求点的轨迹方程。
评析:
,技巧性强,也是较难掌握的一类问题。
,要看动点随什么关键量的变化而变化。常见的参数有:斜率、截距、定比分、角、点的某个坐标等。
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【,根据方程的观点,引入个参数,需建立个方程,才能消去参数。(特殊情况下,能整体处理时方程个数可减少)】
五、交轨法:求两动曲线交点轨迹时,可由方程直接消去参数,例如求两动直线的交点时常用此法。也可以引入参数来建立这些动曲线的联系,然而消去参数得到轨迹方程。交轨法实际是参数法。
例5 、抛物线的顶点作互相垂直的两弦OA、OB,求抛物线的顶点O在直线AB上的射影的轨迹。
评析:用交轨法求交点的轨迹方程时,不一定