高中数学圆锥曲线知识点.doc

高中数学圆锥曲线知识点高中数学知识点—圆锥曲线部分一、平面解析几何的知识结构:           二、考点(限考)概要:   1、椭圆:     (1)轨迹定义:          ①定义一:在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆,两定点是焦点,两定点间距离是焦距,且定长2a大于焦距2c。用集合表示为:;          ②定义二:在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e,那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点,定直线叫准线,常数e是离心率。             用集合表示为:;e越小,椭圆越圆;e越大,椭圆越扁    (2)标准方程和性质:①范围:由标准方程知,,说明椭圆位于直线,所围成的矩形里;②对称性:在曲线方程里,若以代替方程不变,所以若点在曲线上时,点也在曲线上,所以曲线关于轴对称,同理,以代替方程不变,则曲线关于轴对称。若同时以代替,代替方程也不变,则曲线关于原点对称。所以,椭圆关于轴、轴和原点对称。这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是对称中心,椭圆的对称中心叫椭圆的中心;③顶点:确定曲线在坐标系中的位置,常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中,令,得,则,是椭圆与轴的两个交点。同理令得,即,是椭圆与轴的两个交点。所以,椭圆与坐标轴的交点有四个,这四个交点叫做椭圆的顶点。同时,线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别为和,和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。由椭圆的对称性知:椭圆的短轴端点到焦点的距离为;在中,,,,且,即;④离心率:椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。∵,∴,椭圆形状与e的关系:当e→0,c→0,椭圆→圆,直至成为极限位置的圆,则认为圆是椭圆在e=0时的特例。当e→1,c→a椭圆变扁,直至成为极限位置的线段,此时也可认为是椭圆在e=1时的特例。 ⑤、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线,一个三角形”,即六点:四个顶点,两个焦点;六线:两条准线,长轴短轴,焦点线和垂线PQ;三角形:焦点三角形。则椭圆的各性质(除切线外)均可在这个图中找到。                 ⑥利用焦半径公式计算焦点弦长:若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB,A、B两点的坐标分别为,则弦长  这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想。 ⑦若过椭圆左(或右)焦点的焦点弦为AB,则;         注意:当没有明确焦点在个坐标轴上时,所求的标准方程应有两个。      (3)参数方程:(θ为参数);   双曲线:      (1)轨迹定义:           ①定义一:在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线,两定点是焦点,两定点间距离是焦距。用集合表示为:           ②定义二:到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e,那么这个点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫焦点,定直线叫准线,常数e是离心率。              用集合表示为:越大,双曲线的开口越阔 (2)标准方程和性质:①范围:从标准方程,看出曲线在坐标系中的范围:双曲线在两条直线的外侧。即,即双曲线在两条直线的外侧。②对称性:双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的,这时,坐标轴是双曲线的对称轴,原点是双曲线的对称中心,双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。③顶点:双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线的方程里,对称轴是轴,所以令得,因此双曲线和轴有两个交点,他们是双曲线的顶点。令,没有实根,因此双曲线和y轴没有交点。1)注意:双曲线的顶点只有两个,这是与椭圆不同的(椭圆有四个顶点),双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。2)实轴:线段叫做双曲线的实轴,它的长等于叫做双曲线的实半轴长。虚轴:线段叫做双曲线的虚轴,它的长等于叫做双曲线的虚半轴长。④渐近线:注意到开课之初所画的矩形,矩形确定了两条对角线,这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看,双曲线的各支向外延伸时,与这两条直线逐渐接近。⑤等轴双曲线:1)定义:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式:;2)等轴双曲线的性质:(1)渐近线方程为:;(2)渐近线互相垂直⑶离心率.。注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一,即可推知双曲线为等轴双曲线,同时其他几个亦成立。3)注意到等轴双曲线的特征,则等轴双曲线可以设为:,当时交点在轴,当时焦点在轴上。⑥注意与的区别:三个量中不同(互换)相同,还有焦点所在的坐标轴也变了。共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭双曲线.