定理411：设实数a,b且ab,则[a,b],[a,b),(a,b],(a,b)的基数均.ppt

:设实数a,b且a<b,则[a,b],[a,b),(a,b],(a,b)的基数均为c。
实数集R的基数
(0,1)到R的双射f: f(x)=tg(x-/2)
|R|=|(0,1)|=c
线段上的点数和实数轴上的点数是一样的
整数集,非负整数集,正整数集,有理数集它们的基数是0
实数集为
无理数集?
设P表示无理数集
R=P∪Q,
|Q|=0,
,
:设A是有限集或可列集,B是任一无限集, 则|A∪B|=|B|。
|R|=|P∪Q|=|P|,
P的基数是。
定理:两两不相交的可列个基数为c的集合的并集,它的基数也是c。
设E1, E2,…,En,…= ∪Ek
构造S到[0,1)之间的双射,也要寻找依托.
利用Ei与[c,d)存在双射来实现
在无限集中,有基数为0,c,还有其他基数吗?
定理:设F是[0,1]上一切实函数集,则F的基数不是0,也不是c.
证明:(1) F的基数不是0
(2)F的基数不是c.
定义: [0,1]上一切实函数集的基数为f,也记为2.
现在有0, 1, 2,能否类似于数进行比较?
基数的比较
:设A和B是两个集合, 若存在从A到B的***, 则称A的基数小于或等于B的基数,记为|A|≦|B|或|B|≧|A|。若|A|≦|B|且|A|≠|B|, 则称A的基数小于B的基数, 记为|A<|B|。
:设A,B,C是任意集合, 那么
(1)若AB,则|A|≦|B|。
(2)若|A|≦|B|,|B|≦|C|,则|A|≦|C|。
推论:若A是无限集,则|N|≦|A|。
可列集是无限集中基数最小的
[0,1]是无限集,且|[0,1]|=c0,
所以c>0
(蔡梅罗(Zermelo)定理):设A和B是任意两个集合, 那么|A|<|B|,|B|<|A|,|A|= |B|三者中恰有一个成立。
对于基数集,对于基数集上任一元素|A|,因为 AA,则|A|≦|A|,自反。
(2)(若|A|≦|B|,|B|≦|C|,则|A|≦|C|)知传递,
是否反对称呢?
(伯恩斯坦()定理):设A和B是两个集合,若|A|≦|B|,又|B|≦|A|,则|A|=|B|。
由此定理知,基数集上的≦关系是偏序关系,,任意两个集合的基数都是可比较的,因此还是全序关系.
利用存在A到B的***和B到A的***来构造A与B之间的双射
证明基数相同的方法有:构造双射;构造***f:A→B, 得到|A|≦|B|,再作***g:B→A,得到|B|≦|A|,从而得到|A|=|B|。
例:利用伯恩斯坦定理证明|(0,1)|=|[0,1]|。
例:证明实数序列所组成集合E∞的基数为c。
:设A是有限集, 则|A|<0<c<f
(康托尔定理):对于任何集合A,必有|A|<|P (A)|。
证明:
康托尔定理告诉我们:任意给定一个集合A, 总存在基数比|A|更大的集合, 也就是不存在最大基数的集合。
构造可列个无限基数的集合:
N, P (N),P (P (N)),…
且|N|<|P (N)|<|P (P (N))},…
左方最开始的不等式表示0<|P (N)},
以后每一个都大于它前面的一个,
|P (N)|是什么呢?
当A是有限集时,|A|=n,则|P (A)|=2n,即|P (A)|=2|A|。
当A是无限集时,也记|P (A)|为2|A|。
A是可列集, 则有|P (A)|=20,
|P (N)|= 20
c与20之间有何关系
定理 :|P (N)|=c, 即20=c。
0:所有整数(或分数)的数目;
1=|P (N)|:线段上所有几何点(实数)的个数;
2=|P (P (N))|:所有几何曲线的个数。
0<c
康托尔早在一百年前就提出了一个猜想:在0与c之间没有其它的基数, 这就是著名的连续统假设。
1900年著名数学家希尔伯脱()在巴黎数学大会上列举了23个未解决的数学问题, 向数学家们进行挑战, 其中第一个就是“康托尔的连续统基数问题”。