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第 24 卷第 2 期经济数学 V ol2 N o 2
2 007 年 6 月 M A T H E M A T IC I E C O N O M IC S J un . 以刃7
Black-Scholes模型的一种求解方法
刘任河,熊晓龙
(武汉工程大学理学院,武汉,430074)
摘要本文简化了Black-Scholes方程的求解过程,获得了欧式看涨期权的定价奋式,有助于理解传统的期
权定价原则.
羊键词 B lack-Scholes 假设,几何布朗运动,资产组合,欧式看涨期权,Black-Scholes微分方程
中图分类号 立献标识码 A
1. 引言
1 973年4月,被认为是万能的布雷顿森林体系(Brettowoodsystem)彻底崩溃,各主要工业
国家先后开始实行浮动汇率制度〔‘〕.同年同月,芝加哥商品交易所(CBOT)第一张期权和约开
,大规模交易的金融期权、期货等金融衍生产品在金融领域内的
创新,,随之成为现代
金融理论研究和实践运用的最前沿和时尚[[ 年3 月,Black-Scholes发表关于期权定价的
重要论文「4],开创了这一领域的新局面,成为期权定价的经典论文.
B lack-
偏微分方程都有明确的解析解,且一般化的求解方法对数学技巧的要求又太高[[ 3],最重要的是
这一方法所需要的金融直觉往往很难被人们完全理解和接受[[ 5].本文正是针对这一问题,对
Black-Scholes的解法做一剖视,以期用应用数学的方法去开拓和理解金融创新的视野.
2 B lackScholes 假设
( 1)允许卖空证券,无交易费用、税收和保证金,证券高度可分,交易连续;
( 2)在衍生证券的存续期内无红利支付;
( 3)无风险利率;为常数,并且对所有到期日都相同,投资者可以此利率无限制地贷款;
( 4)不存在无风险套利机会;
( 5)信息结构是由布朗运动产生:只= 川w (s),0< s< 川;
( 6)有两种长期存在的证券,一种是无风险证券 B (t),它的价格过程为:dB (t) 二
rB (t)dt,另一种是股票 S(t),它遵循几何布朗运动 dS(t)= ,u S(t)dt+ 6S(t)dw (t).
收稿日期:2007 - 0t- 0s
万方数据
第 2 期刘任何,熊晓龙:Black-Scholes模型的一种求解方法 18 1
基于这些假设,Black-Scholes开创性地提出了无风险对冲交易策略,并用它来对金融衍生
,Black-Scholes用一个偏微分方程描
述了该资产组合的动态变化过程,并得到了一般金融衍生产品定价问题的通用模式.
3 Black-Scholes模型
构造资产组合:n、份股票和n。份欧式看涨期权,在 t时刻,该组合的价值为
V, = nS + nC ,
由伊藤(Ito)定理知,任意衍生资产的细小价格变动可以用标的资产和时