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角平分线[知识总结]角平分线(1)定义:三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。(2)性质:①角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。②三角形的三条角平分线相交于一点,且到三条边的距离相等。(3)判定:到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上。定理:角平分线上的点到这个角两边的距离相等证明:如图OC是∠AOB的平分线,点P在OC上PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D、E,∵∠1=∠2,OP=OP,∠PDO=∠PEO=90°∴△PDO≌△PEO(AAS)∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)例如图,已知AD为△ABC的角平分线,∠B=90°,DF⊥AC,垂足为F,DE=DC,求证BE=CF例在⊿ABC中,点O是AC边上一动点,过点O作直线MN∥BC,与∠ACB的角平分线交于点E,与∠ACB的外角平分线交于点F,求证:OE=OF21AOFECBMN[随堂练****如图,O是△ABC的∠ABC、∠ACB的角平分线的交点,OD∥AB交BC于D,OE∥AC交BC于E,若BC=10cm,求△ODE的周长;,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E。(1)已知CD=4cm,求AC的长;(2)求证:AB=AC+CD。定理:在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上例如图,已知BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,BE、CF相交于点D,若BD=:AD平分∠:三角形的三条角平分线相交于一点例设△交于P,求证:P点在∠BAC的平分线上用尺规作角的平分线。已知:∠AOB求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC作法:1、在OA和OB上分别截取OD、OE,使OD=OE2、分别以D、E为圆心,以大于12DE的长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C。3、作射线OCOC就是∠AOB的平分线。[随堂练****1、已知:△ABC中,BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线,且交于P,若P到边AB的距离为3cm,△ABC的周长为18cm,则△ABC的面积为。2、到三角形三边距离相等的点是()A、三条中线的交点;B、三条高的交点;C、三条角平分线的交点;D、不能确定归纳定理:三角形的三条角平分线交于点,并且这一点到三条边的距离。知识引申:三角形的三条角平分线交于一点,若设这一点到其中一边的距离为m,三边长分别为a、b、c,则三角形的面积S=1、如图在△ABC中AQ=PQ,PR=PS,PR⊥AB于R,PS⊥AC于S,则三个结论:①AS=AR,②QP∥AR,③△BRP≌△QSP中()A全部正确B:仅①和②正确C:仅①正确D:仅①和③正确。2、在△ABC中∠C=90°,∠A的平分线交BC于D,BC=CM,BD:DC:=4:3,则点D到AB的距离为___________。3、在RT△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC交AC于D,DE是是斜边AB的垂直平分线,且DE=1CM,则AC=、已知:如下图在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,交BC于D,若BC=32,且BD∶CD=9∶7,求:、已知:如图,AB∥CD,∠BAC的角平分线与∠DCA的角平分线交于点M,经过M的直线EF与AB垂直,垂足为F