64特征根与特征向量.doc

::4学时教学目标:掌握特征根与特征向量的定义、性质与求法教学重点:特征根与特征向量的定义与性质教学难点:特征根与特征向量的求法教学过程:,能否在它所对应的相似矩阵类中找到一个最简单的矩阵――,能否在V中找到一个基{α1,α2,…,αn},使σ在这个基下的矩阵是对角形??????????????n????21即有(σ(α1),σ(α2),…,σ(αn))=(α1,α2,…,αn)??????????????n????21具体写出来,就是σ(αi)=?αi,i=1,2,…,,要寻找这样的基(如果有的话),首先要寻找满足条件σ(ξ)=?ξ的数?,存在V中的非零向量ξ,使得σ(ξ)=λξ(1)那么λ就叫做σ的一个特征根(值),(1)式的几何意义是:特征向量ξ与它在σ下的象σ(ξ)保持在同一直线L(ξ)上,?>0时方向相同,?<0时方向相反,?=0时,σ(ξ)=?是σ的特征根,存在如下基本事实:1)若ξ1,ξ2,是σ的属于特征根?的特征向量,则当ξ1+ξ2≠0时,ξ1+ξ2也是σ的属于特征根?(ξ1+ξ2)=σ(ξ1)+σ(ξ2)=?(ξ1+ξ2).2)若ξ是σ的属于特征根?的特征向量,则对任意k∈F,k≠0,kξ也是σ的属于特征根?的特征向量,这是因为kξ≠0,且σ(kξ)=kσ(ξ)=k(?ξ)=?(kξ).3),设ξ≠0是σ的属于特征值?与??的特征向量,就有σ(ξ)=?ξ=?′ξ,(?-?′)ξ=0,而ξ≠0,只有?-??=0,从而?=??.从上面的性质可知,把σ的属于特征根?的全部特征向量再添上零向量组成V的一个子集,它对V的加法和数量乘法作成V的一个子空间,={ξ∈V|σ(ξ)=?ξ},称为σ的属于特征根??是σ的特征根时,Vλ≠{0},因此,,,σ是关于过原点的平面H的反射,,-1的特征向量,即V-1就是直线L().,σ是绕原点反时针旋转φ角的线性变换,由几何直观可看出,当φ≠kπ时(k为整数),(f(x))=f′(x),?,有σ(eλx)=,?是σ的特征根,而eλx是σ的属于?,,取定它的基{α1,α2,…,αn},令线性变换σ在这个基下的矩阵是A=(aij).如果ξ=k1α1+k2