拓扑空间到拓扑空间的集值映射的若干定理和等价命题.pdf

第卷第期经济数学
年月
拓扑空间到拓扑空间的集值映射的
若干定理和等价命题
刘宗谦
首都师范大学数学系,北京,
摘要集值映射已成为数理经济学的一个基本工具,集值映射在经济理论分析中的应用也推动了集值影
射本身在数学上的发展有关集值映射的特性主要建立在欧试空间或度量空间中,这些性质也可以推广到拓
扑空间中,但相应的假设较强,其实际应用范围不太理想本文在主要条件有所减弱的情况下,在拓扑空间中
建立集值映射讨有关概念和性质,对给出的一些定理进行证明,且得出其他一些结果,如给出极大定理的另一
表述和证明
关键词集值映射,连续,闭性,极大定理
序言
集值映射以下简知称为集映几乎相伴着在集论基础上引人的涵、映射概念同时出现,集
映直观上反映了一个对象和若干对象之间对应关系或规则,因而,这一数学概念在研究现实世
界中所考察的对象之间、特别是在研究经济变量关系乃至经济人的行为和目标选择中都体现
出它具有的实证性、模仿性及其广泛的应用前景
世界年代以来,集映不仅是微观经济理论研究中的基本工具,而且在经济学研究中
也已发展成为一整套的经济分析方法仁‘〕例如,仁〕和〕的书是较好
的基础教材,而和〔‘」以及口的著作都是较好的基础教
材,和困则概括了集映概念、连续性、紧性、凸性、闭性等内容有关集映的
连续性应用在经济理论中已获得了许多深刻的、有说服力的结果川川集映连续性和最优化应
用于微经济理论中的对偶方法团,研究需求变化率引人集映的可微性。〕,在连续统经济讨论
竞争并结合测度理论引人的集映的可积性等」以及出现上半连续、
盯上半连续等概念「“〕,这些都显示了集映在研究经济理论中的重要性和它本身在数
学上的发展
至于为经济研究需要发展起来的一类不动点定理在微观经济学的核心理论即均衡理论中
更是发挥了十分重要的作用例如,一在年的一篇文章中首次建立了两个零
和博弈中的鞍点定理随后,他在研究经济平衡增长路径的存在性时,认为该问题可以
转化成等价的新鞍点问题,从而证明了一个拓扑引理他是涉及集映不动点定理的先驱正是
这一引理启发正式提出了他的集映不动点定理,成为证明经济均衡存在最强
有力的工具利用这一定理证明了他的均衡存在定理, 而和
收稿日期一一
经济数学第卷
又受到定理的激发,通过公理化分析,重建了的一般经济均衡大厦,
在数学上严格证明了一般经济均衡的存在性,为经济学的发展树立了一个里程碑厂‘」此外,为
研究社会均衡、合作与非合作行为,〔川和川各自在拓扑空间中推
广了不动点定理,且在年代末又得出一个比不动点更强的结果
和则利用分析中的一一定理导出不动点定理,证明了不动
点定理与不动点定理是等价的’〕这些成果有力地证明集映的有关理论促进了数学
的发展潘吉勋和张顺明在「」中对此作出了较为全面的综述
集映是一个集合中点对应于另一个集合的一个子集一般地,这两个集合都是欧试空间或
度量空间的子集在经济理论中利用上述空间子集上的集映来研究问题是很适当的用闭性
描述上半连续性称为引理、建立和应用不动点定理、极大定理本文第三部分介绍等
可发推广到一个是拓扑空间,另一个是紧的拓扑空间、或空间、或局部凸的向量
空间等情况牛在文献仁〕中有比较详细的叙述但是,在拓扑空间中所要