贝叶斯公式的应用论文.doc

本科生学年论文
论文题目贝叶斯公式的应用
学生姓名李红荣
学生学号 200990014057
专业名称数学与应用数学
指导教师窦晓霞


数学系
2011年12月28日
摘要:本文主要通过举例说明了贝叶斯公式在医学,经济方面的应用,概述了贝叶斯方法的实用性。
关键字:贝叶斯公式,先验概率,后验概率
引言:贝叶斯公式在疾病诊断及经济决策方面都有广泛的应用。我们常常喜欢找“有经验”的医生给自己治病,因为过去的“经验”能帮助医生做出比较准确的诊断。几乎任何一项经济学的研究、决策都离不开概率统计的应用,概率统计是进行经济学问题研究的有效工具,为经济预测和决策提供了新的手段,特别在信息不完全的情况下应用贝叶斯公式更是十分有效的。
一,贝叶斯公式
若事件,,…,是样本空间的一个划分,>0(i=1,2,…,n),A是任一事件且>0,则有:
= (j=1,2,…,n), (1)
其中,可由全概率公式得到,即
= (2)
本文主要应用贝叶斯公式的一种简单情形,即对任意两个事件A和B,根据贝叶斯公式有
(3)
其中
(4)
这里,事件B的概率通常是根据以往数据分析得到,叫做先验概率,而是在获得新的信息后对先验概率做出重新认识,称为后验概率。后验概率体现了已有信息带来的知识更新,经常用来分析事件发生的原因。
二,贝叶斯公式的应用
1,疾病诊断
用甲胎蛋白法普查肝癌。令C={被检验者患肝癌},A={甲白检验结果为阳性}则,={被检验者未患肝癌},={甲胎蛋白检验结果为阴性},由过去的资料已知=,=,又已知某地居民的肝癌发病率为P(C)=、为阳性的人,求这批人中真的患有肝癌的概率.
由贝叶斯公式可得.=
==
由此可知,经甲胎蛋白法检验阳性的人群中,其中真正患有肝癌的人还是很少的。把.==,=。当已知病人患肝癌或未患肝癌时,甲胎蛋白检验的准确性应该说是比较高的,这从==。但如果未知病人是否患肝癌,而要从甲胎蛋白检验结果为阳性这一事件出发,来判断病人是否患肝癌,那么它的准确性还是很低的,。这个事实看来似乎有点矛盾,一种检验方法“准确性”很高,在实际使用时准确性却又很低,到底是怎么一回事呢?这从上述计算中用到的贝叶斯公式可以得到解释。已知是不大的(这时被检验者未患肝癌,但甲胎蛋白检验结果为阳性,即检验结果是错误的),但是患肝癌的人毕竟很少(在本例中为P(C)=),于是未患肝癌的人占了绝大多数(),这就使得检验结果是错误的部分相对很大。从而造成很小。那么,上述结果是不是说明甲胎蛋白法不能用了呢?完全不是﹗通常医生总是先采取一些其他简单易行的辅助方法进行检查,当他怀疑某个对象有可能患肝癌时,才建议用甲胎蛋白法检验。这时在被怀疑的对象中,肝癌的发病率已经显著的增加了。比方说,在被怀疑的对象中P(C)=,这时按上述方法计算可以得到=,这时按上述方法计算可得到=,这就有相当高的准确性了。由此读者可以想到,对一些疑难病症,医生为什么要用几种不同的方法进行检查了。
下面再举一个心理学研究中常被引用的例子:参加常规