判定三角形形状的十种方法1.doc

判定三角形形状的十种方法1、若有a=b或(a-b)(b-c)(c-a)=0,则△ABC为等腰三角形。2、若有(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,则△ABC为等边三角形。3、若有a2+b2>c2,则△ABC为锐角三角形;若有a2+b2=c2,则△ABC为直角三角形;若有a2+b2<c2,则△ABC为钝角三角形。4、若有(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,则△ABC为等腰三角形或直角三角形。5、若有a=b且a2+b2=c2,则△ABC为等腰直角三角形。以上是从三角形的边与边之间的关系考虑的。6、若有sin2A+sin2B=sin2C或sinA=sinB,则△ABC为直角三角形或等腰三角形。7、若有cosA>0,或tanA>0,(其中∠A为△ABC中的最大角)则△ABC为锐角三角形。8、若有cosA<0,或tanA<0,(其中∠A为△ABC中的最大角),则△ABC为钝角三角形。9、若有两个(或三个)同名三角函数值相等(如tanA=tanB),则△ABC为等腰三角形(或等边三角形)。10、若有特殊的三角函数值,则按特殊角来判断,如cosA=,b=c,则△ABC为等边三角形。以下就一些具体实例进行分析解答:一、利用方程根的性质:例1:若方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有一个相同的根,且a、b、c为一个三角形的三条边,则此三角形为()(A)锐角三角形;(B)钝角三角形;(C)以c为斜边的直角三角形;(D)以a为斜边的直角三角形;(D)二、利用根的判别式例2:已知a、b、c是△ABC的三边,且方程b(x2-1)-2ax+c(x2+1)=0没有实数根,试判断△ABC的形状。解:整理原方程,得:(c+b)x2-2ax+(c-b)=0,由已知,得:△=4a2-4(c+b)(c-b)=4(a2+b2-c2)<0,∴a2+b2-c2<0,即a2+b2<c2,故△ABC是钝角三角形。三、利用根与系数的关系例3、在△ABC中,a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边,已知方程x2+axcosB-bcosA=0的两根之和等于两根之积,试判断△ABC的形状。解:根据一元二次方程的根与系数的关系,得:acosB=bcosA,如图:作CD⊥AB于D,则AD=bcosA,BD=acosB,AD=BD,又CD⊥AB,∴△ABC为等腰三角形。四、利用非负数的性质例4:已知a、b、c是△ABC的三边,且a3+b3+c3=3abc,求证:△ABC是等边三角形。证明:∵a3+b3+c3=3abc,∴(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc=0,即(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac)=0,∵a+b+c≠0,∴a2+b2+c2-ab-bc-ac=0,∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0即(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,∴a-b=b-c=c-a=0,故a=b=c,∴△ABC是等边三角形。五、利用三角形的面积例5:设△ABC的三条高线之和等于此三角形三个角平分线的交点到一边的距离的9倍,则△ABC是等边三角形。证明:设△ABC的面积为S,三个内角平分线交点为0,到一边的距离为h,三边上的高分别为ha、hb、hc,由三角形面积公式,得:ha=,hb=,hc=,h=,由已知,ha+hb+hc=9h,∴,即,∴c(a-b)2+a