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为什么说√2不是有理数——√2为无理数的证明方法探究探究公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯有一种观点,即“万物皆数”,一切量都可以用真实或整数的比(分数)表示,后来,当这一学派的希帕索斯发现边长为1的正方形的对角线的长度不能用整数或整数的比表示,即√2不是有理数时,毕达哥拉斯学派感到惶恐不安。由此还引发了一次数学危机……下面请打开八上P88无理数,即非有理数之实数,不能写作两整数之比。若将它写成小数形式,小数点之后的数字有无限多个,并且不会循环。那么,什么是无理数呢?假设根号2为有理数,那么存在两个互质的正整数p,q,使得:√2=p/q于是:p=(√2)q两边平方得:p^2=2q^2由2q^2是偶数,可得p^2是偶数。而只有偶数的平方才是偶数,所以p也是偶数。因此可设p=2s,代入上式,得:4s^2=2q^2,即,q^2=2s^2.所以q也是偶数。这样,p,q都是偶数,不互质,这与假设p,q互质矛盾。这个矛盾说明,√2不能写成分数的形式,即√2不是有理数。毕达哥拉斯,古希腊数学家、哲学家。把BD减去BC,剩下一段DE。以DE为边做一个新的小正方形DEFG,那么显然DE=EF=FC(∵△EDF为等腰直角且△BEF≌△BCF)。接下来我们应该在BC和DE间辗转相除。BC就等于CD,CD减去一个DE相当于减去一个FC,就只剩下一段DF了。现在轮到DE和DF之间辗转相除,而它们是一个新的正方形的边和对角线,其比例正好与最初的BC和BD相当。于是,这个操作再次回到原问题,并且无限递归下去。最后的结论用我们的话说就是,不存在一个数x使得BC和BD的长度都是x的整倍数。于是,BD/BC不能表示为两个整数之比p/q(否则BD/p=BC/q,这就成为了那个x)。假设(p/q)^2=2,那么p^2=2q^2。我们将要证明,一个数的平方等于另一个数的平方的两倍是根本不可能的。如果对一个平方数分解质因数,它必然有偶数个因子。于是,p^2有偶数个质因子,q^2有偶数